共尾性

在數學裡，尤其是在序理論裡，一個偏序集合 A 的共尾性 cf(A) 是指 A 的共尾子集的勢中的最小者。

共尾性的定義依賴於選擇公理，因為它利用了所有非空的基數集合都有一個最小成員的事實。偏序集合 A 的共尾性亦可定義成最小的序數 x，使得有著值域共尾於陪域的一個從 x 到 A 的函數。第二個定義不需要選擇公理也可以有意義。若假設有選擇公理（此條目接下來的部分亦將如此假設），這兩種定義將是等價的。

共尾性也可類似地被定義在有向集合上，並且用來廣義化網中的子序列概念。

例子

• 帶有最大元的偏序集合的共尾性是 1，因為僅獨最大元組成的集合也是共尾的，並且必須包含在所有其他共尾子集中。
  • 特別是，任何非零有限序數，或實際上任何有限有向集合的共尾性是 1，因為這種集合有最大元。
• 偏序集合的所有共尾子集必須包含這個集合的所有極大元。因此有限偏序集合的共尾性等於極大元的數目。
  • 特別是，設 A 是大小為 n 的一個集合，並考慮包含不多於 m 個元素的 A 的子集的集合。這是一個在包含關係下的偏序集合，而且帶有 m 個元素的子集是極大的。所以這個偏序集合的共尾性是 ${n \choose m}$。
• 自然數集 N 的子集共尾於 N，若且唯若它是無限的，因此 $\aleph _{0}$ 的共尾性是 $\aleph _{0}$。所以 $\aleph _{0}$ 是正規基數。
• 帶有通常次序的實數集的共尾性是 $\aleph _{0}$，因為 N 共尾於 R。R 的通常次序不序同構於實數的勢 c，它有嚴格大於 $\aleph _{0}$ 的共尾性。這說明了共尾性依賴於次序；在同一個集合上不同的次序有不同的共尾性。

性質

如果 A 容納全序共尾子集，則我們可以找到是良序的並共尾於 A 的一個子集 B。B 的任何子集也是良序的。如果 B 的兩個良序子集有極小的勢（就是說它們的勢是 B 的共尾性），則它們相互序同構。

序數和其他良序集合的共尾性

序數 $\alpha$ 的共尾性是能夠作為 $\alpha$ 某個共尾子集的序類型的最小序數 $\delta$。而序數的集合或任何其他良序集合的共尾性是該集合的序類型的共尾性。

所以對於極限序數，存在著一個帶有極限 $\alpha$ 的 $\delta$-標定的嚴格遞增序列。例如，ω² 的共尾性是 ω，因為序列 ω·m（這裡的 m 取值在自然數之上）趨向於 ω²；但更一般的說，任何可數的極限序數有共尾性 ω。不可數的極限序數可以有要麼同 $\omega _{\omega }$ 那樣的共尾性 ω ，要麼有不可數共尾性。 0 的共尾性是 0。任何後繼序數的共尾性是 1。任何極限序數的共尾性至少是 $\omega$。

正規和奇異序數

正規序數是等於其共尾性的序數。奇異序數是不正規的任何序數。

所有正規序數都是一個基數的初始序數。任何正規序數的極限都是初始序數的極限，因而也是初始的，但不一定是正規的。假定選擇公理，則對於每個 α， $\omega _{\alpha +1}$ 是正規的。在這種情況下，序數 0, 1, $\omega$, $\omega _{1}$, 和 $\omega _{2}$ 是正規的，而 2, 3, $\omega _{\omega }$, 和 ω_ω·2 是不正規的初始序數。

任何序數 α 的共尾性是正規序數，就是說 α 的共尾性的共尾性同於 α 的共尾性。所以共尾性運算是等冪的。

基數的共尾性

如果 κ 是無限基數，則 cf(κ) 是最小的基數，其使得有一個從它到 κ 的無界函數；並且 cf(κ) = 使得它們的和為 κ的嚴格更小的基數的集合的最小搜集的勢；更精確地說

$\mathrm {cf} (\kappa )=\inf \left\{\mathrm {card} (I)\ |\ \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}\ \mathrm {and} \ (\forall i)(\lambda _{i}<\kappa )\right\}$

上面這個集合為非空，根據以下事實

$\kappa =\bigcup _{i\in \kappa }\{i\}$

就是說 κ 個單元素集合的不交併集。這立即蘊涵了 cf(κ) ≤ κ。任何全序集合的共尾性是正規的，所以有著 cf(κ) = cf(cf(κ))。

使用König定理，對於任何無限基數 κ都可以證明 κ < κ^cf(κ) 和 κ < cf(2^κ) 。

後一個不等式蘊涵了連續統的勢的共尾性必定是不可數的。在另一方面

$\aleph _{\omega }=\bigcup _{n<\omega }\aleph _{n}$.

序數 ω 是第一個無限序數，所以 $\aleph _{\omega }$ 的共尾性是 card(ω) = $\aleph _{0}$。（特別是，$\aleph _{\omega }$ 是奇異的）。因此

$2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }.$

（相較於連續統假設，它聲稱 $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$。）

推廣了這個論證，你可以證明對於極限序數 δ

$\mathrm {cf} (\aleph _{\delta })=\mathrm {cf} (\delta )$.

參見

• 初始序數