准範疇

在數學的分支範疇論中，准範疇（或稱弱Kan複合體、內Kan複合體、無限範疇、∞-範疇、博德曼複合體）是對範疇概念的一個概括，對這種概括的研究即高階範疇。

准範疇是由Boardman & Vogt (1973)提出的。André Joyal大大推動了對準範疇的研究，指出大多數通常的基本範疇論及一些高級概念和定理在准範疇中都有類似物。Jacob Lurie （2009）對準範疇理論進行了詳細論述。

准範疇是特定的單純集合。與普通範疇相似，它們包含對象（單純集合的0-單體）及對象間的態射（1-單體）。與範疇不同的是，兩個態射的複合不需要唯一定義，所有可作為兩個給定態射複合的態射，都是通過高階可逆態射（2-單體，可被想像為一種「同倫」）相互關聯的。高階態射也可以組合，但只在更高階的態射下才有明確的定義。

高階範疇論的想法（至少當高階態射可逆時）是，與範疇的標準定義不同，兩個對象間應有一個映射空間（而非映射集）。這表明，高階範疇應該只是拓撲增廣範疇。然而，准範疇的模型要比拓撲增廣範疇的模型更適合應用，儘管雅各·盧里已經證明兩者對應的模型範疇是奎倫等價的。

定義

准範疇C 是滿足內Kan條件（也稱「弱Kan條件」）的單純集合：對C中每個內角（inner horn），即單純集的映射$\Lambda ^{k}[n]\to C$，其中$0<k<n$有一個填充物，即映射$\Delta [n]\to C$的擴展。

我們的想法是，2-簡化$\Delta [2]\to C$應是代表交換三角形（至少在同倫情況下）。映射$\Lambda ^{1}[2]\to C$代表一個可組合的對。因此，在准範疇中，態射間實際上無法定義複合律，因為有很多方式可以複合映射。

該定義的一個結果是$C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}$，是一個平凡的Kan纖維化。換句話說，雖然複合無法唯一定義，但在可縮的選擇下是唯一的。

同倫範疇

給定準範疇C，可以關聯一個普通範疇hC，稱為C的同倫範疇。同倫範疇的對象是C的頂點，態射由頂點間的同倫類給出。由n=2的角填充條件，可以得出複合。

對於一個一般的簡單集，有從sSet到Cat的函子$\tau _{1}$，稱作基本範疇函子；對於准範疇C，基本範疇與同倫類相同，即$\tau _{1}(C)=hC$。

例子

• 範疇的神經集是任何內角的填充均唯一的准範疇。反過來說，如果一個準範疇的任何內角都有唯一的填充，那麼它必與某類範疇的神經集同構。C的神經集的同倫範疇與C同構。
• 給定拓撲空間X，可以定義其簡單集S(X)，也稱為X的基本∞-廣群。S(X)是一個準範疇，其中每個態射都可逆。S(X)的同倫範疇是X的基本廣群。
• 比上述例子更一般，每個Kan複合體都是准範疇。Kan複合體中來自所有角的所有映射都可填充，即Kan複合體中所有態射都可逆。因此Kan複合體是廣群的類似物——如果範疇是廣群，那麼範疇的神經集就是Kan複合體。

變體

• (∞, 1)-範疇是∞-範疇，但不一定是准範疇。其中n-態射（n>1）都等價。有西格爾範疇、簡單增廣範疇、拓撲範疇、完全西格爾空間等幾類。准範疇也是(∞, 1)-範疇。

• 模型結構 sSet-範疇上有模型範疇，提出了(∞,1)-範疇(∞,1)Cat。

• 同倫Kan擴展 同倫Kan擴展的概念，特別是同倫極限和同倫並極限的概念，在增廣Kan複合體範疇中有直接的表述。

• 所有(∞,1)-拓撲斯理論都可以用sSet-範疇模型化（ToënVezzosi）。有sSet-site C的概念來模擬(∞,1)-site。

另見

• 模型範疇
• 穩定∞-範疇
• ∞-廣群
• 高階範疇
• 球集

參考文獻

• Boardman, J. M.; Vogt, R. M., Homotopy invariant algebraic structures on topological spaces, Lecture Notes in Mathematics 347, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1973, ISBN 978-3-540-06479-4, MR 0420609, doi:10.1007/BFb0068547 
• Groth, Moritz, A short course on infinity-categories (PDF), [2023-06-08], （原始內容 (PDF)存檔於2016-03-03） 
• Joyal, André, Quasi-categories and Kan complexes, Journal of Pure and Applied Algebra, 2002, 175 (1): 207–222, MR 1935979, doi:10.1016/S0022-4049(02)00135-4  
• Joyal, André; Tierney, Myles, Quasi-categories vs Segal spaces, Categories in algebra, geometry and mathematical physics, Contemp. Math. 431, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc.: 277–326, 2007, MR 2342834, arXiv:math.AT/0607820  
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• Joyal, A., Notes on quasicategories (PDF), [2023-06-08], （原始內容存檔 (PDF)於2011-07-25） 
• Lurie, Jacob, Higher topos theory, Annals of Mathematics Studies 170, Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14049-0, MR 2522659, arXiv:math.CT/0608040  
• Joyal's Catlab entry: The theory of quasi-categories （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• nLab的quasi-category條目
• nLab的infinity-category條目
• nLab的fundamental+category條目
• Bergner, Julia E. Workshop on the homotopy theory of homotopy theories. 2011. arXiv:1108.2001  [math.AT]. 
• nLab的(∞, 1)-category條目
• Hinich, Vladimir. Lectures on infinity categories. 2017-09-19. arXiv:1709.06271  [math.CT].