升鏈條件

數學中,升鏈條件(Ascending Chain Condition)降鏈條件(Descending Chain Condition)是一些代數結構具有的性質,例如交換環中的理想

定義

偏序集 滿足升鏈條件,如果在 中不存在嚴格升序列

 

其中的 都是 中的元素。等價地, 中任意不嚴格升序列

 

最終都是穩定的,即存在一個正整數 使得

 

類似地, 滿足降鏈條件如果在 中不存在嚴格降序列或者每個不嚴格降序列最終都是穩定的。

性質

  • 利用選擇公理,偏序集 滿足降鏈條件等價於 滿足良基關係 的每個非空子集都有一個極小元。滿足良基關係的偏序集稱為良序集
  • 類似地,偏序集 滿足升鏈條件等價於 的每個非空子集都有一個極大元。

例子

正整數環 中的理想滿足升鏈條件,其中理想是通過包含關係進行排序,於是 是一個諾特環