半立方拋物線
半立方拋物線(cuspidal cubic)是一個參數式如下的平面代數曲線[1]
其隱方程為
可以求得y得到以下的式子[1]
若令u = at, X = a2x,且令Y = a3y,可得
這意味著,針對任意的實數a,此曲線都可以位似變換到a = 1的曲線,也就是說,不同的a只對應不同的單位長度。
性質
有一種特殊的半立方拋物線,是拋物線的漸屈線[2],其方程式為
若將Tschirnhausen cubic catacaustic展開,可以證明也是半立方拋物線[3]:
半立方拋物線的另一個特性是其為等時曲線,也就是說一物體在其曲線上,因重力而往下移動,在相同的時間內會移動相同的距離。因此此曲線和等時降線有關,也是物體在不同的位置因重力同時往下移動,會在相同的時間到達最下方。此曲線也和最速降線問題有關,物體沿此軌跡,會從起點以最快速度到達終點[4]。
半立方拋物線等時曲線的特性是由雅各布·伯努利為了回答戈特弗里德·萊布尼茨在1687年提出的一個挑戰,在1690年提出此曲線的特性[4]。
參考資料
- ^ 1.0 1.1 Pickover, Clifford A., The Length of Neile's Semicubical Parabola, The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics, Sterling Publishing Company, Inc.: 148, 2009, ISBN 9781402757969.
- ^ Yoder, Joella G., Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature, Cambridge University Press: 88, 2004 [2016-04-06], ISBN 9780521524810, (原始內容存檔於2017-08-20).
- ^ Weisstein, Eric W. (編). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語).
- ^ 4.0 4.1 Carnahan, Walter H., Time Curves, School Science and Mathematics, 1947, 47 (6): 507–511, doi:10.1111/j.1949-8594.1947.tb06153.x.
外部連結
- 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Neile's Semi-cubical Parabola, MacTutor數學史檔案 (英語)