卜瓦松二項分布

在機率論和統計學中，卜瓦松二項分布是一個基於獨立伯努利試驗之和的離散機率分布。這一概念以西梅翁·德尼·卜瓦松的名字命名。

卜瓦松二項分布
Poisson binomial

母數	$n\in \mathbb {N}$（試驗數） $\mathbf {p} \in [0,1]^{n}$（各試驗的成功機率）
值域	k ∈ { 0, …, n }
機率質量函數	$\sum \limits _{A\in F_{k}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})$
累積分布函數	$\sum \limits _{l=0}^{k}\sum \limits _{A\in F_{l}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})$
期望值	$\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}$
變異數	$\sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}$
偏度	${\frac {1}{\sigma ^{3}}}\sum \limits _{i=1}^{n}(1-2p_{i})(1-p_{i})p_{i}$
峰度	${\frac {1}{\sigma ^{4}}}\sum \limits _{i=1}^{n}(1-6(1-p_{i})p_{i})(1-p_{i})p_{i}$
動差母函數	$\prod \limits _{j=1}^{n}(1-p_{j}+p_{j}e^{t})$
特徵函數	$\prod \limits _{j=1}^{n}(1-p_{j}+p_{j}e^{it})$
機率母函數	$\prod \limits _{j=1}^{n}(1-p_{j}+p_{j}z)$

換句話說，它是成功機率分別為$p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$的n次獨立伯努利試驗中，成功次數的機率分布。普通二項分布是卜瓦松二項分布在所有成功機率相同（即$p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}$）時的特例。

定義

機率質量函數

n次試驗中有k次成功的機率可以寫為以下總和

$\Pr(K=k)=\sum \limits _{A\in F_{k}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})$

其中$F_{k}$是 {1,2,3,..., n } 的全體k元子集的集合。例如，如果n = 3，那麼$F_{2}=\left\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\right\}$。$A^{c}$是$A$的補集，也就是$A^{c}=\{1,2,3,\dots ,n\}\setminus A$。

$F_{k}$將包含$n!/((n-k)!k!)$個元素，因此上述總和在實務中是很難計算的，除非試驗次數n很小（例如，如果n = 30，$F_{15}$包含超過10²⁰個元素）。然而，還有其他更有效的方法可以計算$\Pr(K=k)$。

只要成功機率都不等於 1，就可以使用遞迴公式計算出k次成功的機率：

$\Pr(K=k)={\begin{cases}\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})&k=0\\{\frac {1}{k}}\sum \limits _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}\Pr(K=k-i)T(i)&k>0\\\end{cases}}$

其中

$T(i)=\sum \limits _{j=1}^{n}\left({\frac {p_{j}}{1-p_{j}}}\right)^{i}.$

遞迴公式在數值上不穩定，在$n$約大於20時應避免使用。另一種方法是使用分治算法：假設$n=2^{b}$是2的冪，並以$f(p_{i:j})$表示成功機率為$p_{i},\dots ,p_{j}$的卜瓦松二項分布，$*$表示摺積，則$f(p_{1:2^{b}})=f(p_{1:2^{b-1}})*f(p_{2^{b-1}+1:2^{b}})$。

另一種可能性是使用離散傅立葉轉換。

$\Pr(K=k)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{l=0}^{n}C^{-lk}\prod \limits _{m=1}^{n}\left(1+(C^{l}-1)p_{m}\right)$

其中$C=\exp \left({\frac {2i\pi }{n+1}}\right)$，$i={\sqrt {-1}}$。

Chen和Liu在「卜瓦松二項式和條件伯努利分布的統計應用」中描述了其他方法。

特性

均值和變異數

由於卜瓦松二項式分布變數是n個獨立伯努利分布變數的總和，因此其均值和變異數將是n個伯努利分布的均值和變異數之和：

$\mu =\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}$

$\sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}$

當平均值（$\mu$）和次數（n）為定值，且所有成功機率相等時，我們會得到二項式分布，變異數此時最大。當平均值固定時，變異數的上界為具有相同均值的卜瓦松分布的變異數，該上界在n趨於無窮大時可以漸近取得。

熵

卜瓦松二項式分布的熵沒有簡單的公式，但熵的上限是具有相同數字母數和相同均值的二項式分布的熵。因此，熵也不大於相同均值的卜瓦松分布的熵。

謝普-奧爾金凹性猜想由勞倫斯·謝普和英格拉姆·奧爾金於1981年提出，指出卜瓦松二項式分布的熵是成功機率$p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$的凹函數。這個猜想由 Erwan Hillion 和 Oliver Johnson 於2015年證明。1981年同一篇論文亦提出謝普-奧爾金單調性猜想：若$p_{i}\leq 1/2$，則熵對$p_{i}$為單調遞增。這個猜想也被 Hillion 和 Johnson 於 2019 年證明。