埃雷斯曼聯絡

微分幾何中,埃雷斯曼聯絡Ehresmann connection)是應用於任意纖維叢聯絡概念的一個版本。

特別的是,它可以是非線性的,因為一般的纖維叢上沒有合適的線性的概念。

它適用於主叢這一類特殊的纖維叢,通過聯絡形式表述,在這種情況聯絡至少是在一個李群的作用下等變

埃雷斯曼聯絡以法國數學家夏爾·埃雷斯曼命名。

簡介

微分幾何中經典的協變導數是一個線性微分算子,它以協變的方式取向量叢中截面的方向導數,也能用來闡述在 在特定向量方向上叢中截面為平行的概念:截面s沿著向量V平行,如果∇Vs = 0。所以一個協變導數提供了兩個觀念:微分算子以及各個方向上的平行。埃雷斯曼聯絡[1]完全放棄了微分算子,並用截面在各個方向平行的含義來公理化一個聯絡。精確一點講,埃雷斯曼聯絡將纖維叢中的切叢的某些子空間指定為「水平空間」。如果 ds(V )處於水平空間中,則截面 s 是在 V 方向上是水平的(也即平行的)。在這裡,我們把 s 視為從底空間 M 映射到向量叢 E 的函數 s : ME ,且 ds : TMs*TE 是向量的前推。水平空間組成 TE 的一個子向量叢。

如此一來直接的好處是它可以用於比向量叢一般得多的場合。特別是,它對於一般的纖維叢都是有定義的。而且,很多協變導數的特色得到了保留:平行移動,曲率和樂

然而此定義除了線性之外還失去了協變性。在經典協變導數中,協變性乃是導數的後驗特性。在構造過程中,要先指定「非協變」克氏記號的變換法則,才能給出符合協變的導數。對埃雷斯曼聯絡而言,可藉由引入作用在纖維叢裡纖維上的李群,來強加一個推廣的協變原則。恰當的條件就是要求水平空間在某種意義下對應於群作用等變

埃雷斯曼聯絡的點睛之筆是它可以表達為一個微分形式,和聯絡形式的情況類似。若一個群作用在纖維上,並且聯絡等變,則該形式也是等變的。而且,該聯絡形式也允許用曲率形式來定義曲率。

纖維叢上的埃雷斯曼聯絡

令π : EM纖維叢[2]E上的埃雷斯曼聯絡由如下數據組成:

  1. 對於每一點xE,給定Ex點的切空間向量子空間 HxTxEHx稱為x點的水平空間
  2. 隨著x的變化,Hx必須定義出一個E的切叢的光滑子叢。(特別是,H必須有常數維度。)
  3. V = ker(dπ : TETM)為由所有沿著E的纖維方向的切向量組成的鉛直叢。則HxVx = {0} 對於xE成立。
  4. 任何E的切向量必須可以分解為水平和鉛直分量: TE = H + V。(特別是,根據上面第3條,這是一個直和分解。)

用更加看似深奧的術語來講,滿足屬性1-4的這樣的一個對水平空間的設定,精確地對應於給定一個射叢 JEE的光滑截面。

等價的有,令Φ為到鉛直叢V的投影。這可以由上述TE到水平和鉛直分量的直和分解得到。則Φ滿足:

  1. Φ2 = Φ
  2. Φ : TEV是一個叢的滿射。

反過來,若Φ是滿足1和2的向量叢映射,則H = ker Φ定義了上述的一個埃雷斯曼聯絡的結構。

曲率

令Φ為一埃雷斯曼聯絡。則Φ的曲率為

 

其中[-,-]表示Φ ∈ Ω1(E,TE)和它自己的Frölicher-Nijenhuis括號。這樣R ∈ Ω2(E,TE)就是一個E上取值在TE中的2-形式,定義為

 ,

或者說

 ,

其中X = XH + XV代表到HV分量的分解。從上式可以看出,曲率為0若且唯若水平子叢是弗羅貝尼烏斯可積的。這樣,曲率是否為0就是水平子叢能否構成纖維叢EM的橫截面的可積性條件

一個埃雷斯曼的曲率也滿足比安基恆等式(Bianchi identity)的一個擴展版本:

 

其中[-,-]仍然是Φ ∈ Ω1(E,TE)和R ∈ Ω2(E,TE)的Frölicher-Nijenhuis括號。

水平提升

埃雷斯曼聯絡也給出了將曲線從基流形 M 提升到纖維叢 E 的總空間並且使得曲線得切向量為水平向量的方式。這些水平提升是其它版本的聯絡表述中的平行移動的直接對應。

精確來講,設 γ(t) 為 M 中穿過點 P = γ(0) 的光滑曲線。令 eEPP 上的纖維中的一點。γ 穿過 e 的一個提升就是一條曲線  ,它位於 E 中,並滿足

 ,與  

提升是水平的,當曲線的每個切向量位於 TE 的水平子叢中:

 

對π和Φ利用秩-零化度定理可以證明每個向量v ∈ TPM有唯一的水平提升 。特別是,γ的切向量場在拉回叢 γ-1E的總空間上產生一個水平向量場。利用皮卡定理,這個向量場是可積的。這樣,對於每個曲線γ和γ(0)的纖維上的一點e,對於足夠小的時間t總是存在唯一的穿過e的γ的水平提升

完備性

埃雷斯曼聯絡允許曲線有局部水平提升。對於一個完備埃雷斯曼聯絡,曲線可以在整個定義域上水平提升。

和樂群

聯絡的平坦性局部對應於水平空間的弗羅貝尼烏斯可積性。在另一個極端,非零曲率表示了聯絡的和樂群的存在。[3]

主叢

對於G-叢  ,每個 ,令 代表在x的切空間,用  代表和纖維相切的鉛直子空間。則聯絡是對 水平子空間  的指定,並要滿足

  1.    的直和,
  2.  的分布在GE上的作用下不變,也即 對於任何 

 成立,這裡 代表ax群作用的微分。

  1. 分布 光滑地依賴於x

使用射叢  可以更加優美地表達這個定義。指定水平空間無非就是指定該射叢的一個光滑截面。

G的單參數子群鉛直作用於E上。該作用的微分允許我們可以講子空間 G群的李代數g等同起來,譬如通過映射 。 然後,聯絡形式就是 上的在g中取值的微分形式 ,其定義為  其中 代表在 的從  的投影,且其核空間為 

聯絡形式滿足如下兩個屬性:

  • 聯絡在G作用下等變  對於所有hG成立。
  • 聯絡將鉛直向量場映射為相應的李代數的元素: 對於所有XV成立。

反過來,可以證明這樣一個g-值1-形式在一個主叢上產生一個水平分布,滿足前面所說的屬性。

給定一個局部平凡化,可以將 (在該平凡化中)簡化為水平向量場。它通過拉回B上定義了一個形式 。該形式 完全確定了 ,但是它依賴於平凡化的選擇。(這個形式經常也稱為聯絡形式並也記為 。)

備註

  1. ^ Ehresmann, C. "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable", Colloque de Toplogie, Bruxelles (1950) 29-55.
  2. ^ 這在更一般的情況也成立,這種情況下π:EM是一個滿 浸入: 也即,E是一個M上的纖維化流形
  3. ^ 埃雷斯曼聯絡的和樂群有時稱為埃雷斯曼-瑞布和樂群(Ehresmann-Reeb holonomy)或者葉和樂群,參看瑞布首次使用埃雷斯曼聯絡研究葉狀結構的文章:Reeb, G. Sur Certaines Proprietes Topologiques des Varietes Feuilletees, Herman, Paris, 1952.

進階閱讀

  • Bott, R. (1970) "Topological obstruction to integrability", Proc. Symp. Pure Math., 16 Amer. Math. Soc., Providence, RI.

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