希格斯叢

數學中，希格斯叢是由全純向量叢E和希格斯場 $\varphi$ （在E的自同態叢中取值的全純1-形式，滿足 $\varphi \wedge \varphi =0$ ）組成的二元組 $(E,\varphi )$ 。Nigel Hitchin （1987）^[1]以彼得·希格斯命名了場 $\varphi$ ，因為它與希格斯玻色子相似。卡洛斯·辛普森後來引入了「希格斯叢」這一術語，以及條件 $\varphi \wedge \varphi =0$ （在希欽最初在黎曼曲面上的設置中此條件是空的）。^[2]

希格斯叢可視作全純向量叢上平坦全純仿射聯絡的「簡化」，其中導數縮放至0。非阿貝爾霍奇對應指出，在合適的穩定性條件下，光滑射影復代數簇上的平坦全純聯絡範疇、此簇的基本群表示範疇、此簇上的希格斯叢範疇實際上等價。於是，可由較簡單的希格斯叢推導出關於平坦聯絡的規範理論結果。

歷史

希格斯叢由希欽 (1987)首次引入，^[1]針對的是全純向量叢E在緊黎曼曲面上的情形。希欽的論文主要討論秩為2的向量叢（即纖維是2維向量空間）。秩2向量叢是希欽方程中主 SU(2)叢的解空間。

黎曼曲面上的理論後由卡洛斯·辛普森推廣到底流形為緊凱勒流形的情形。維度設為1時，會退化成希欽的理論。

穩定性

希格斯叢理論中，穩定希格斯叢的概念尤為重要。為此要先定義 $\varphi$ -不變子叢。

在希欽最初的討論中，若 $\varphi (L)\subset L\otimes K$ （K是黎曼曲面M上的規範叢），則標記為L的秩1子叢是 $\varphi$ -不變的。則，當對E的每個 $\varphi$ -不變子叢L，都有 ${\text{deg}}L<{\frac {1}{2}}{\text{deg}}(\wedge ^{2}E),$ 其中 ${\text{deg}}$ 是黎曼曲面上復向量叢度數的通常表示，希格斯叢 $(E,\varphi )$ 就是穩定的。

另見

希欽系統

參考文獻

^ Hitchin, Nigel. The self-duality equations on a Riemann surface. London Mathematical Society. 1987, 55 (1): 59–126 [2022-11-10]. doi:10.1112/plms/s3-55.1.59. （原始內容存檔於2022-11-12）.
^ Simpson, Carlos. Higgs bundles and local systems (PDF). Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1992, 75 (1): 5–95 [10 November 2022]. S2CID 56417181. doi:10.1007/BF02699491. （原始內容存檔 (PDF)於2022-11-24）.

Corlette, Kevin. Flat G-bundles with canonical metrics. Journal of Differential Geometry. 1988, 28 (3): 361–382. MR 0965220. doi:10.4310/jdg/1214442469  .
Gothen, Peter B.; García-Prada, Oscar; Bradlow, Steven B., What is... a Higgs bundle? (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 2007, 54 (8): 980–981 [2024-05-23], MR 2343296, （原始內容存檔 (PDF)於2024-03-04）

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[hitchin1-1] Hitchin, Nigel. The self-duality equations on a Riemann surface. London Mathematical Society. 1987, 55 (1): 59–126 [2022-11-10]. doi:10.1112/plms/s3-55.1.59. （原始內容存檔於2022-11-12）.

[simpson-2] Simpson, Carlos. Higgs bundles and local systems (PDF). Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1992, 75 (1): 5–95 [10 November 2022]. S2CID 56417181. doi:10.1007/BF02699491. （原始內容存檔 (PDF)於2022-11-24）.

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