康托爾函數

在數學中,以數學家格奧爾格·康托爾命名的康托爾函數,是一個一致連續,卻不絕對連續函數

區間[0,1]上的康托爾函數

定義

康托爾函數 c : [0,1] → [0,1] ,對於x∈[0,1],其函數值c(x)可由以下步驟得到:

  1. 三進制表示x。
  2. 如果x中有數字1,就將第一個1之後的所有數字換成0。
  3. 將所有數字2換成數字1。
  4. 二進制讀取轉換之後的數,這個數即為c(x)。

例如:

  • 1/4以三進制表示為0.020202...,其中並沒有1,因此經過第二步仍然是0.020202...,第三步轉換為0.010101...,將其視為二進制,則為1/3,因此c(1/4)=1/3。
  • 1/5以三進制表示為0.01210121...,第二步轉換為0.01,由於其中沒有2,因此經過第三步後仍是0.01,視為二進制則為1/4,因此c(1/5)=1/4。
  • 200/243以三進制表示為0.21102(即0.2110122222...),第二步轉換為0.21,第三步轉換為0.11,視為二進制則為3/4,因此c(200/243)=3/4。


其它定義

性質構造

若在[0, 1]上定義的f(x)滿足下列四個條件,則f(x)即為康托爾函數:[1]

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

迭代構造

 

下面我們構造一個函數序列{fn(x)},這個序列將收斂於康托爾函數: 首先定義

 

接下來,對於每個正整數n,函數fn+1(x)都由函數fn(x)定義:

 

檢查 fn(x)是否每個點都收斂於之前定義的康托爾函數,我們可以發現,

 

設f(x)是極限函數, 那麼對於任意非負整數n都有,

 

另外可以注意到只要滿足f0(0) = 0, f0(1) = 1 且f0 有界,起始函數f0(x)具體是什麼函數並不重要。

  1. ^ Weisstein, Eric W. (編). Cantor Function. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2014-01-23]. (原始內容存檔於2019-02-14) (英語).