廣義相對論的替代理論

廣義相對論的替代理論是與愛因斯坦廣義相對論競爭，嘗試要描述重力現象的物理理論。

對於建構一個理想重力理論，至今已有許多不同的嘗試。這些嘗試可以分為下面四個大類：

與廣義相對論直接競爭的理論，例如嘉當理論以及布蘭斯-狄克理論等等。
嘗試建構量子化的重力理論，例如迴圈量子重力理論。
嘗試統一重力與其他基本力，例如卡魯扎-克萊因理論。
嘗試將所有目標畢其功於一役，例如M理論。

本文談論對象僅包括與廣義相對論的直接競爭理論。關於量子化重力理論課題，參見量子重力。重力與其他基本力的統一理論課題，參見古典統一場論。試圖將所有目標畢其功於一役的理論，請見萬有理論。

動機

建立新的重力理論的動機隨著年代不同，最早先的動機是要解釋行星軌道（牛頓重力）以及更複雜的軌道（例如：拉格朗日）。再來登場的是不成功的嘗試——要合併重力與波理論或微粒(corpuscular)理論的新重力理論。隨著勞侖茲變換的發現，物理學的樣貌徹底改變，而導致了將其與重力調和的嘗試。在此同時，實驗物理學家開始測試重力與相對論的基礎——勞侖茲不變性、重力造成的光線偏折、Eötvös實驗。這些考量導致與考驗了廣義相對論的發展。

本文中的符號標記

$c\;$ 為光速， $G\;$ 為重力常數。幾何變數(Geometric variables)在此不使用。

拉丁字母指標取值從1到3，希臘字母指標取值從0到3。採用愛因斯坦取和原則。

$\eta _{\mu \nu }\;$ 為閔可夫斯基度規。 $g_{\mu \nu }\;$ 為一張量，通常是度規張量。其有標記(signature) $(-,+,+,+)$ 。

協變微分(Covariant differentiation)寫為 $\nabla _{\mu }\phi \;$ 或 $\phi _{;\mu }\;$ 。

也可考慮閱讀廣義相對論的數學條目。

理論分類

重力理論可以粗略分為數個大類。此處描述的多數理論具有：

一作用量（參見最小作用量原理，其為一基於作用量觀念的變分原理）
一拉格朗日密度
一度規

若一理論具有一拉格朗日密度，寫作 $L\,$ ，則作用量 $S\,$ 則是此項的積分，例如： $S\,\propto \,\int d^{4}xR{\sqrt {-g}}L\,$

其中 $R\,$ 是空間的曲率。在此方程式中，通常會有 $g=-1\,$ 的情形，但並非必要條件。

本文中所描述的理論幾乎每個都有一作用量。這是目前已知的方法來保證能量、動量與角動量守恆能自動成立；儘管如此，要建構使守恆律被違背的作用量仍相當容易。1983年原始版本的MOND並沒有作用量。

一些理論有作用量但沒有拉格朗日密度。一個好的例子是懷海德(1922年)的理論，此中的作用量是非局域的。

一個重力理論是一度規理論(metric theory)僅當其可以給出遵守如下兩個條件的數學表述：

條件1. 存在一度規張量 $g_{\mu \nu }\,$ ，標記為1，而此度規掌控了原長(proper-length)與原時(proper-time)測量，一如在狹義與廣義相對論：

ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\,

此式中對指標 $\mu$ 與 $\nu$ 進行取和。

條件2. 受到重力作用的具應力物質與場按照下列方程式反應：

\nabla \cdot T=0\,

其中 $T\,$ 為應力-能量張量，針對所有物質以及非重力的場，而 $\nabla$ 為隨度規所做的協變導數(covariant derivative)]。

任何重力理論若 $g_{\mu \nu }\neq g_{\nu \mu }$ 永遠成立，則其非度規理論，但任何度規理論可以給予違背條件1與2的數學描述。

度規理論包括（從簡單至複雜）：

純量場理論（包括共形平直理論(Conformally flat theories)，以及具有共形平直空間切面(Conformally flat space slices)的層狀理論(Stratified theories)）

諾德斯特洛姆(Nordström)、Einstein-Fokker、Whitrow-Morduch、Littlewood、Bergman、Page-Tupper, 愛因斯坦（1912年）、Whitrow-Morduch、羅森(Rosen)（1971年）、Papapetrou、倪維斗(Ni)、Yilmaz、[Coleman]、李-萊特曼-倪(Lee-Lightman-Ni)

雙度規理論

羅森（1975年）、Rastall、萊特曼-李(Lightman-Lee)

類線性理論（包括線性固定規範(Linear fixed gauge)）

懷海德(Whitehead)、Deser-Laurent、Bollini-Giambini-Tiomno

張量理論

愛因斯坦廣義相對論

純量-張量理論
向量-張量理論
其他度規理論

（參見後文1980年代至今的現代理論）

非度規理論，則包括嘉當(Cartan)、Belinfante-Swihart。

關於馬赫原理，在這裡做一些陳述是洽當的，因為其中一些理論根據的是馬赫原理，例如懷海德（1922年），and many mention it in passing eg. Einstein-Grossmann (1913), Brans-Dicke (1961). 馬赫原理可以被想作是介於牛頓與愛因斯坦之間的妥協(half-way-house)。可以做如此描述^[1]：

牛頓：絕對空間與時間。
馬赫：參考系源自於宇宙中物質的分布。
愛因斯坦：沒有絕對的參考系。

目前為止，所有的實驗證據指出馬赫原理是不正確的，但其可能性尚未被完全排除。

早期理論（1686年至1916年）

早期重力理論——指的是廣義相對論之前的理論——包括有牛頓（1686年）、愛因斯坦（1912年a & b）、愛因斯坦與格羅斯曼(Grossmann)（1913年）、諾德斯特洛姆(Nordström)（1912年、 1913年）以及愛因斯坦與佛克(Fokker)（1914年）。

在牛頓（1686年）理論中（以更近代的數學重寫），質量密度 $\rho \,$ 產生了一個純量場 $\phi \,$ ：

{\partial ^{2}\phi  \over \partial x^{j}\partial x^{j}}=4\pi \rho \,

。

利用倒三角算符(Nabla operator) $\nabla$ ，可以很方面地寫成：

\nabla ^{2}\phi =4\pi \rho \,

。

而純量場掌控了自由下落粒子的運動：

{d^{2}x^{j} \over dt^{2}}+{\partial \phi  \over \partial x^{j}\,}=0\,

。

其中純量場為 $\phi =GM/r\,$ 。

廣義相對論替代理論的測試

理論與測試的發展是一個牽一個地進行著。多數測試可以被分類為（參見Will 2001）：

基本生存力(Basic Viability)
愛因斯坦等效原理(Einstein's Equivalence Principle, EEP)
參數化後牛頓形式(Parametric Post-Newtonian, PPN)
強場重力(Strong Gravity)
重力波(Gravitational Waves)

理論測試結果

一些理論的PPN參數實測值

（細節參見威爾(Will)（1981年）與倪維斗(Ni)（1972年）。米斯納(Misner)等人（1973年）製表將倪氏參數記號轉換成威爾的版本。）

廣義相對論至今已經超過90歲，而不斷繼起的重力替代理論卻無法與更精確的觀測結果相一致。更細節的描述請見參數化後牛頓形式(Parameterized post-Newtonian formalism, PPN)。

下表列舉了為數眾多的理論之PPN值。如果格中的值跟行頂格子的值相同，則表示完整的式子太複雜而無法列在此處；例如：行頂格子為β參數，而Bergmann（1968年）, Wagoner（1970年）的格子值也是β。

	$\gamma$	$\beta$	$\xi$	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	$\alpha _{3}$	$\zeta _{1}$	$\zeta _{2}$	$\zeta _{3}$	$\zeta _{4}$
愛因斯坦（1916年）廣義相對論	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
純量-張量理論
Bergmann（1968年）, Wagoner（1970年）	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	$\beta$	0	0	0	0	0	0	0	0
NordtVedt（1970年）, Bekenstein（1977年）	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	$\beta$	0	0	0	0	0	0	0	0
布蘭斯-狄克（1961年）	$\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}$	1	0	0	0	0	0	0	0	0
向量-張量理論
Hellings-Nordtvedt（1973年）	$\gamma$	$\beta$	0	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
Will-Nordtvedt（1972年）	1	1	0	0	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
雙度規理論
Rosen（1975年）	1	1	0	0	$c_{0}/c_{1}-1$	0	0	0	0	0
Rastall（1979年）	1	1	0	0	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
萊特曼-李（1973年）	$\gamma$	$\beta$	0	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
層狀理論
李-萊特曼-倪（1974年）	$ac_{0}/c_{1}$	$\beta$	$\xi$	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
倪維斗（1973年）	$ac_{0}/c_{1}$	$bc_{0}$	0	$\alpha _{1}$	$\alpha _{2}$	0	0	0	0	0
純量場論
愛因斯坦（1912年）{非廣義相對論}	0	0		-4	0	-2	0	-1	0	0†
Whitrow-Morduch（1965年）	0	-1		-4	0	0	0	-3	0	0†
羅森（1971年）	$\lambda$	$\textstyle {\frac {3}{4}}+\textstyle {\frac {\lambda }{4}}$		$-4-4\lambda$	0	-4	0	-1	0	0
Papetrou (1954年a, 1954年b)	1	1		-8	-4	0	0	2	0	0
倪維斗（1972年）（層狀）	1	1		-8	0	0	0	2	0	0
Yilmaz（1958年、1962年）	1	1		-8	0	-4	0	-2	0	-1†
Page-Tupper（1968年）	$\gamma$	$\beta$		$-4-4\gamma$	0	$-2-2\gamma$	0	$\zeta _{2}$	0	$\zeta _{4}$
諾德斯特洛姆（1912年）	$-1$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$		0	0	0	0	0	0	0†
諾德斯特洛姆（1913年）、愛因斯坦-佛克（1914年）	$-1$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$		0	0	0	0	0	0	0
倪維斗(Ni)（1972年）（平直）	$-1$	$1-q$		0	0	0	0	$\zeta _{2}$	0	0†
Whitrow-Morduch（1960年）	$-1$	$1-q$		0	0	0	0	q	0	0†
Littlewood（1953年）、Bergman（1956年）	$-1$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$		0	0	0	0	-1	0	0†

† 此理論不完備，且 $\zeta _{4}$ 可以是兩值中的一者。最接近零的值在此列出。

至今所有實驗測試與廣義相對論相符，因此PPN分析立即刪除了表中所有的純量場論。

此處未有針對懷海德（1922年）、Deser-Laurent（1968年）、Bollini-Giamiago-Tiomino（1970年）三者的完整PPN參數列表。但在這些三個情形中 $\beta =\gamma$ ，這與廣義相對論的情形以及實驗結果嚴重違背。特別的是，這些理論預測的地球潮汐振幅是不正確的值。

腳註

^ 這並非馬赫原先陳述的方式，參見馬赫原理的其他變型

參考文獻

Barker, B. M. (1978) General scalar-tensor theory of gravity with constant G, The Astrophysical Journal 219, 5, http://adabs.harvard.edu/abs/1978ApJ...219...5B^{[永久失效連結]}
Bekenstein, J. D. (1977) Are particle rest masses variable? Physical Review D 15, 1458-1468, http://prola.aps.orh/pdf/PRD/v15/i6/p1458_1^{[永久失效連結]}
Bekenstein, J. D. (2004) Revised gravitation theory for the modified Newtonian dynamics paradigm. Phys. Rev. D 70, 083509
Belinfante, F. J. and Swihart, J. C. (1957a) Phenomenological linear theory of gravitation Part I, Ann. Phys. 1, 168
Belinfante, F. J. and Swihart, J. C. (1957b) Phenomenological linear theory of gravitation Part II, Ann. Phys. 2, 196
Bergman, O. (1956) Scalar field theory as a theory of gravitation, Amer. J. Phys. 24, 39
Bergmann, P. G. (1968) Comments on the scalar-tensor theory, Int. J. Theor. Phys. 1, 25-36
Birkhoff, G. D. (1943) Matter, electricity and gravitation in flat space-time. Proc. Nat Acad. Sci. U.S. 29, 231-239
Bollini, C. G., Giambiaga, J. J., and Tiomno, J. (1970) A linear theory of gravitation, Nuovo Com. Lett. 3, 65-70
Brans, C. and Dicke, R. H. (1961) Mach's principle and a relativistic theory of gravitation. Phys. Rev. 124, 925-935
Cartan, É. (1922) Sur une généralisation de la notion de courbure de Riemann st les espaces à torsion. Acad. Sci. Paris, Comptes Rend. 174, 593-595
Cartan, É. (1923) Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée. Annales Scientifiques de l'École Normale Superieure Sér. 3, 40, 325-412. http://archive.numdam.org/article/ASENS_1923_3_40__325_0.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
Damour, T., Deser, S. & MaCarthy, J. (1993) Nonsymmetric gravity has unacceptable asymptotics, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qc/pdf/9312/9312030/pdf^{[永久失效連結]}
Deser, S. and Laurent, B. E. (1968) Gravitation without self-interaction, Annals of Physics 50, 76-101
Einstein, A. (1912a) Lichtgeschwindigkeit und Statik des Gravitationsfeldes. Annalen der Physik 38, 355-369
Einstein, A. (1912b) Zur Theorie des statischen Gravitationsfeldes. Annalen der Physik 38, 443
Einstein, A. and Grossmann, M. (1913), Z. Math Physik 62, 225
Einstein, A. and Fokker, A. D. (1914) Die Nordströmsche Gravitationstheorie vom Standpunkt des absoluten Differentkalküls. Annalen der Physik 44, 321-328
Einstein, A. (1916) Annalen der Physik 49, 769
Einstein, A. (1917) Über die Spezielle und die Allgemeinen Relativatätstheorie, Gemeinverständlich, Vieweg, Braunschweig
Fierz, M. and Pauli, W. (1939) On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field. Proc. Royal Soc. London 173, 211-232
Hellings, W. H. and Nordtveldt Jr, K. (1973) Vector-metric theory of gravity, Physical Review D 7, 3593-3602, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v7/i12/p3593_1
Jordan, P.(1955) Schwerkraft und Weltall, Vieweg, Braunschweig
Kustaanheimo, P. (1966) Route dependence of the gravitational redshift. Phys. Lett. 23, 75-77
Kustaanheimo, P. E. and Nuotio, V. S. (1967) Publ. Astron. Obs. Helsinki No. 128
Lang, R. (2002) Experimental foundations of general relativity, http://www.mppmu.mpg.de/~rlang/talks/melbourne2002.ppt （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
Lee, D. L., Lightman, A. P. and Ni, W-T (1974) Conservation laws and variational principles in metric theories of gravity, Physical Review D 10, 1685-1700, http://prola.aps.org/abstract/PRD/v10/i6/p1685_1 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
Lightman, A. P. and Lee, D. L. (1973), New two-metric theory of gravity with prior geometry, Physical Review D 8, 3293-3302, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v8/i10/p3293_1
Littlewood, D. E. (1953) Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 49, 90-96
Milne E. A. (1948) Kinematic Relativity, Clarendon Press, Oxford
Misner, C. W., Thorne, K. S. and Wheeler, J. A. (1973) Gravitation, W. H. Freeman & Co.
Moffat, J. W. (1995) Nonsymmetric gravitational theory, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/9411/9411006.pdf^{[永久失效連結]}
Moffat, J. W. (2002) Bimetric gravity theory, varying speed of light and the dimming of supernovae, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0202/0202012.pdf^{[永久失效連結]}
Moffat, J. W. (2005a) Gravitational theory, galaxy rotation curves and cosmology without dark matter, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0412/0412195.pdf^{[永久失效連結]}
Moffat, J. W. (2005b) Scalar-tensor-vector gravity theory, http://arxiv.org/PS_cache/qr-qg/pdf/0506/0506021.pdf^{[永久失效連結]}
Newton, I. (1686) Philosopiae Naturalis Principia Mathematica
Ni, W-T. (1972) Theoretic frameworks for testing relativistic gravity IV, The Astrophysical Journal 176, 769-796
Ni, W-T. (1973) A new theory of gravity, Physical Review D 7, 2880-2883, http://prola.aps.org/abstract/PRD/v7/i10/p2880_1 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
Nordtvedt Jr, K. (1970) Post-Newtonian metric for a general class of scalar-tensor gravitational theories with observational consequences, The Astrophysical Journal 161, 1059
Nordtvedt Jr, K. and Will C. M. (1972) Conservation laws and preferred frames in relativistic gravity II, The Astrophysical Journal 177, 775
Nordström, G. (1912), Relativitätsprinzip und Gravitation. Phys. Zeitschr. 13, 1126
Nordström, G. (1913), Zur Theorie der Gravitation vom Standpunkt des Relativitätsprinzips, Annalen der Physik 42, 533
Pais, A. (1982) Subtle is the Lord, Clarendon Press
Page, C. and Tupper, B. O. J. (1968) Scalar gravitational theories with variable velocity of light, Mon. Not. R. Astr. Soc. 138, 67-72
Papapetrou, A. (1954a) Zs Phys., 139, 518
Papapetrou, A. (1954b) Math. Nach., 12, 129 & Math. Nach., 12, 143
Poincaré, H. (1908) Science and Method
Rastall, P. (1979) The Newtonian theory of gravitation and its generalization, Canadian Journal of Physics 57, 944-973
Rosen, N. (1971) Theory of gravitation, Physical Review D 3, 2317
Rosen, N. (1973) A bimetric theory of gravitation, General Relativity and Gravitation 4, 435-447.
Rosen, N. (1975) A bimetric theory of gravitation II, General Relativity and Gravitation 6, 259-268, http://www.springerlink.com/content/1778634236421720/fulltext.pdf^{[永久失效連結]}
Thiry, Y. (1948) Les équations de la théorie unitaire de Kaluza, Comptes Rendus Acad. Sci (Paris) 226, 216
Trautman, A. (1972) On the Einstein-Cartan equations I, Bulletin de l'Academie Polonaise des Sciences 20, 185-190
Turyshev, S. G. (2006) Testing gravity in the solar system, http://star-www.st-and.ac.uk/~hz4/workshop/workshopppt/turyshev.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
Wagoner, R. V. (1970) Scalar-tensor theory and gravitational waves, Physical Review D 1, 3209-3216, http://prola.aps.org/pdf/PRD/v1/i12/p3209_1
Whitehead, A.N. (1922) The Principles of Relativity, Cambridge Univ. Press
Whitrow, G. J. and Morduch, G. E. (1960) General relativity and Lorentz-invariant theories of gravitations, Nature 188, 790-794
Whitrow, G. J. and Morduch, G. E. (1965) Relativistic theories of gravitation, Vistas in Astronomy 6, 1-67
Will, C. M. (1981, 1993) Theory and Experiment in Gravitational Physics, Cambridge Univ. Press
Will, C. M. (2001) The Confrontation between General Relativity and Experiment, http://www.livingreviews.org/Articles/Volume4/2001-4will （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
Will, C. M. and Nordtvedt Jr, K. (1972) Conservation laws and preferred frames in relativistic gravity I, The Astrophysical Journal 177, 757
Yilmaz, H. (1958) New approach to general relativity, Phys. Rev. 111, 1417
Yilmaz, H. (1973) New approach to relativity and gravitation, Annals of Physics 81, 179-200

[Mach-1] 這並非馬赫原先陳述的方式，參見馬赫原理的其他變型

[1]