總變差

在數學中，總變差（英語：Total variation）就是一函數其數值變化的差的總和。

當綠點遍歷整個函數時，綠點在y-軸上的投影紅點走過的路程就是該函數的總變分.

定義

矢量空間

實值函數$f$定義在區間$[a,b]\subset \mathbb {R}$的總變差是一維參數曲線$x\mapsto f(x),x\in [a,b]$的弧長。 連續可微函數的總變差，可由如下的積分給出

$V_{b}^{a}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\,\mathrm {d} x.$

任意實值或虛值函數$f$定義在區間$[a,b]$上的總變差，由

$V_{b}^{a}(f)=\sup _{P}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,\,$

定義。其中$P$為區間$[a,b]$中的所有分劃.

定義在有界區域$\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$上的實值可積函數$f$的總變差,定義為

$V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }f\mathrm {div} \varphi \colon \varphi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert \varphi \Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\},$

其中 $C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$是Ω中的緊支集上全體連續可微向量函數構成的集合, $\Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}$是本質上確界範數。

若$f$可微，上式可簡化為

$V(f,\Omega )=\int \limits _{\Omega }\left|\nabla f\right|.$

度量空間

在一個度量空間$(\Omega ,\Sigma )$上，集函數$\mu :\Sigma \rightarrow \mathbb {R}$，其總變差為：

$|\mu |(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }|\mu (A)|\qquad \forall E\in \Sigma$

其中$\pi$為$E$的劃分。 如果$\mu$是符號測度，通過漢分解定理可知：

$|\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}\,$

可微定義的證明

首先需要利用高斯散度定理證明一個等式.

引理

在假設條件下，下面的等式成立：

$\int \limits _{\Omega }f\,\mathrm {div} \varphi =-\int _{\Omega }\nabla f\cdot \varphi$

引理證明

由高斯散度定理$\int \limits _{\Omega }{\text{div}}\mathbf {R} =\int \limits _{\partial \Omega }\mathbf {R} \cdot \mathbf {n}$. 將$\mathbf {R} :=f\mathbf {\varphi }$代入，可得

$\int \limits _{\Omega }{\text{div}}\left(f\mathbf {\varphi } \right)=\int \limits _{\partial \Omega }\left(f\mathbf {\varphi } \right)\cdot \mathbf {n}$

由於在$\Omega$的邊界上$\mathbf {\varphi } =0$,從而

$\int \limits _{\Omega }{\text{div}}\left(f\mathbf {\varphi } \right)=\int \limits _{\partial \Omega }\left(f\mathbf {\varphi } \right)\cdot \mathbf {n} =0$

注意到${\text{div}}\left(f\mathbf {\varphi } \right)=f{\text{div}}\mathbf {\varphi } +\nabla f\cdot \varphi$代入上式，移項即得

$\int \limits _{\Omega }f\,\mathrm {div} \varphi =-\int _{\Omega }\nabla f\cdot \varphi$.

如果函數$f$的總變差有限，則稱函數$f$為有界變差函數.

參閱

• 有界變差
• 總變差遞減
• 總變差規則化
• 二次變差

外部連結

理論

單變量

• Boris I. Golubov (and comments of Anatolii Georgievich Vitushkin) "Variation of a function （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
• "Total variation" on Planetmath.

多變量

• Comments of Anatolii Georgievich Vitushkin on the preceding article of Boris I. Golubov "Variation of a function （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
• Boris I. Golubov "Arzelà variation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", "Fréchet variation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", "Hardy variation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", "Pierpont variation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", "Tonelli plane variation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", "Vitali variation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）", voices from the Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.

測度論

• Rowland, Todd. "Total Variation （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）". From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein.
• "Jordan decomposition （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）" on Planetmath.

機率論

• M. Denuit and S. Van Bellegem "On the stop-loss and total variation distances between random sums", discussion paper 0034 of the Statistic Institute of the "Université Catholique de Louvain".

應用

• Caselles, Vicent; Chambolle; Novaga, The discontinuity set of solutions of the TV denoising problem and some extensions, SIAM, Multiscale Modeling and Simulation, vol. 6 n. 3, 2007  (a work dealing with total variation application in denoising problems for image processing).

• Tony F. Chan and Jackie (Jianhong) Shen (2005), Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods, SIAM, ISBN 089871589X (with in-depth coverage and extensive applications of Total Variations in modern image processing, as started by Rudin, Osher, and Fatemi).