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扭稜四角反角柱

扭稜四角反角柱（英文：Snub square antiprism）是詹森多面體的其中一個，其所引為J85[1]。它無法由柏拉圖立體（正多面體）和阿基米得立體（半正多面體）經過切割、增補而得來。扭稜四角反角柱是詹森多面體中的基本立體之一。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森（英語：Norman Johnson (mathematician)）（Norman Johnson）命名並給予描述[2]。

扭稜四角反角柱
扭稜四角反角柱
類別詹森多面體
J84 - J85 - J86
識別
名稱扭稜四角反角柱
參考索引J85
鮑爾斯縮寫
（verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）		snisquap
數學表示法
施萊夫利符號ss{2,8}在維基數據編輯
性質
面26
邊40
頂點16
歐拉特徵數F=26, E=40, V=16 （χ=2）
組成與佈局
面的種類8+16個三角形
2個正方形
頂點圖8個(35)
8個(34.4)
對稱性
對稱群D4v群
特性
凸多面體
圖像
立體圖

（展開圖）

性質

扭稜四角反角柱共由26個面、40條邊和16頂點所組成[3][4][5]。在其26個面中，有24個三角形和2個正方形[3]。在其16個頂點中，有8個頂點是5個三角形的公共頂點[5]，在頂點圖中可以用[35]來表示[6]、另外8個頂點是4個三角形和1個正方形的公共頂點[5]，在頂點圖中可以用[34,4]來表示[6]。

構造

形如其名地，扭稜四角反角柱可以透過將四角反角柱套用扭稜變換來構造。在施萊夫利符號中可以表示為ss{2,8}，其中s{2,8}是四角反角柱[7]，其中的扭稜是考克斯特扭稜；而在康威扭稜中，扭稜四角反角柱可以透過將四角錐套用康威扭稜來構造，在康威多面體表示法中可以表示為sY4[8]。

體積與表面積

若一個扭稜四角反角柱邊長為 ，則其表面積 為：[9]

 [10]

而其體積 為：

 

其中 是下列多項式的最大實根：

 [11]

頂點座標

令 為下列三次式的正實根，約為 ：

 

和h約為 ：

 

則邊長為2的扭稜四角反角柱的頂點座標由下列頂點的軌道的並集在繞z軸旋轉90°和繞垂直於z軸並與x軸夾角22.5°的直線旋轉180°所產生的空間對稱群之群作用下給出：[12]

 

扭稜反角柱

類似的造方式之多面體還有扭稜三角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,6}）為經過扭稜變換的三角反角柱（可以視為一個對稱性較低的正八面體），其結果為偽二十面體（可以視為一個對稱性較低的正二十面體）。另一個為扭稜五角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,10}）甚至是更高邊數的扭稜反角柱，但其結果不會是由正三角形構成的凸多面體。邊數更少的扭稜二角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,4}）對應另一個詹森多面體——扭稜鍥形體，但必須在二角反角柱中保留兩個退化的對角面（以紅色繪製）。這些都可以視為一系列扭稜反角柱無窮序列的一項。[7]

扭稜反角柱
對稱性 D2d, [2+,4], (2*2) D3d, [2+,6], (2*3) D4d, [2+,8], (2*4) D5d, [2+,10], (2*5)
反角柱  
s{2,4}
A2
     
（頂點：4、 邊：8、 面：6） 		 
s{2,6}
A3 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
     
（頂點：6、 邊：12、 面：8） 		 
s{2,8}
A4 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
     
（頂點：8、 邊：16、 面：10） 		 
s{2,10}
A5 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
     
（頂點：10、 邊：20、 面：12）
截角反角柱  
ts{2,4}
tA2
（頂點：16、邊：24、面：10） 		 
ts{2,6}
tA3 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
（頂點：24、 邊：36、 面：14） 		 
ts{2,8}（英語：truncated square antiprism）
tA4 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
（頂點：32、 邊：48、 面：18） 		 
ts{2,10}
tA5 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
（頂點：40、 邊：60、 面：22）
對稱性 D2, [2,2]+, (222) D3, [3,2]+, (322) D4, [4,2]+, (422) D5, [5,2]+, (522)
扭稜反角柱 J84 二十面體 J85 凹
sY3 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） = HtA3 sY4 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） = HtA4 sY5 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） = HtA5
 
ss{2,4}
（頂點：8、 邊：20、 面：14） 		 
ss{2,6}
（頂點：12、 邊：30、 面：20） 		 
ss{2,8}
（頂點：16、 邊：40、 面：26） 		 
ss{2,10}
（頂點：20、 邊：50、 面：32）

參見

參考文獻

  1. ^ Weisstein, Eric W. (編). Snub Square Antiprism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. 
  2. ^ Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英語：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 
  3. ^ 3.0 3.1 David I. McCooey. Johnson Solids: Snub square antiprism. [2022-09-07]. （原始內容存檔於2022-09-09）. 
  4. ^ The snub square antiprism. qfbox.info. [2022-09-09]. （原始內容存檔於2022-09-09）. 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Snub square antiprism. polyhedra.tessera.li. [2022-09-09]. （原始內容存檔於2022-09-09）. 
  6. ^ 6.0 6.1 Richard Klitzing. snub square antiprism, snisquap. bendwavy.org. [2022-09-09]. （原始內容存檔於2022-01-25）. 
  7. ^ 7.0 7.1 Jim McNeill. Snub Anti-Prisms. orchidpalms.com. [2019-09-28]. （原始內容存檔於2019-03-27）. 
  8. ^ PolyHédronisme. [2022-09-09]. （原始內容存檔於2022-03-10）. 
  9. ^ Wolfram, Stephen. "Snub square antiprism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英語）. 
  10. ^ Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "SurfaceArea"] 
  11. ^ Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, MinimalPolynomial[PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "Volume"], x] 
  12. ^ Timofeenko, A. V. The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra. Journal of Mathematical Science. 2009, 162 (5): 725. S2CID 120114341. doi:10.1007/s10958-009-9655-0. 

外部連結

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