曲線

曲（ㄑㄩ）線（curve，curved line）是平滑彎曲的線段或線條，也指動點運動方向連續變化的軌跡。

歷史

在數學上，一條曲線的定義為：

設

I=[a,b]

為一實數區間，即實數集的非空子集，那麼曲線c 就是一個連續函數c : I → X 的映像，其中X 為一個拓撲空間。

我們常遇到的平面曲線的拓撲空間為 $\mathbb {R} ^{2}$ 。

若f是單射的，則 c是簡單曲線（simple curve）。

若 $I=[a,b]$ 和 $f(a)=f(b)$ ，f是閉曲線（closed curve）或環圈。

一般來說，當在 $\mathbb {R} ^{n}$ 下一些符合一條方程的點的集合組成一條曲線時，那方程就叫那曲線的曲線方程（curvilinear equation，curve equation）。

例如， $x^{2}+y^{2}=1$ 是單位圓的曲線方程，因為有且僅有單位圓上的點符合這條方程；因這些點組成一個單位圓，故該方程正代表著平面上的單位圓。

若 $\gamma (t):[a,b]\to X\subset R^{n}$ ，則其長度是

$L(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\ dt$

例如，若一條平面曲線可表達成標準方程 $y=f(x)\,$ ，那麼它的長度就是：

\int _{a}^{b}{{\sqrt {\left[f'\left(x\right)\right]^{2}+1}}\;{\rm {d}}x}

其中 $a\,$ 、 $b\,$ 為 $x\,$ 的上下限。

若平面曲線可表達成參數方程 $x(t),y(t)$ ，那麼它的長度就是：

\int _{\alpha }^{\beta }{{\sqrt {\left({x'}\right)^{2}+\left({y'}\right)^{2}}}{\rm {d}}t}

其中 $\alpha \,$ 、 $\beta \,$ 為 $t\,$ 的上下限。