有序向量空間

數學中,有序向量空間(ordered vector space)是帶有偏序向量空間,並且偏序與向量空間的運算是相容的。又稱偏序向量空間(partially ordered vector space)。

中的一點以及集合(紅色)。此處的序定義為若且唯若

定義

給定實數 上的向量空間 以及集合 上的預序 ,如果對 中任意的 以及非負實數 ,以下公理成立

  1.  
  2.  

則有序對 稱為預序向量空間(preordered vector space)。若 還是偏序,則 稱為有序向量空間。這兩條公理說明,平移與正的位似變換是序結構的自同構,並且映射 是到對偶序結構的同構。有序向量空間關於其加法運算構成有序群

正錐

給定預序向量空間 ,子集 是一個凸錐,稱為 正錐(positive cone)。若 是有序向量空間,則 ,因此 還是真錐。

 是實向量空間,  的真凸錐,則存在唯一的偏序使得 成為有序向量空間並且 。這個偏序由以下方式給出

 若且唯若 

因此,向量空間 上(與向量空間結構相容)的偏序與 的真凸錐之間存在一一對應。

例子

  • 實數關於通常的順序構成有序向量空間。
  • 以下關係都是 上的偏序,且按照從弱到強的順序排列。
    1. 字典序 若且唯若  。這是一個全序。正錐由條件  給出。用極坐標表示,正錐就是由角度滿足 的點再加上原點組成。
    2.  若且唯若  (這實際上就是兩個偏序集 的乘積序)。這是一個偏序。正錐由 給出。在極坐標中就是 ,再加上原點。
    3.  若且唯若  ,也就是兩個 直積的反射閉包。正錐由  給出。在極坐標系中,就是 ,再加上原點。


只有第二個序是閉集(作為 的子集)。

  • 仿照 的情況,可以在 上定義類似的偏序。例如,仿照上面提到的第二個序,可以定義:
    •  若且唯若 
  • 里斯空間是有序向量空間,並且還是
  •  上的連續函數組成的空間, 若且唯若對任意 

備註

偏序向量空間中的區間是凸集。設 ,由上面的兩個公理可以得出:如果 ,則 

參見

參考文獻

  • 尼古拉·布爾巴基; Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces; ISBN 0-387-13627-4.
  • Schaefer, Helmut H; Wolff, M.P. Topological vector spaces, 2nd ed. New York: Springer. 1999: 204–205. ISBN 0-387-98726-6. 
  • Aliprantis, Charalambos D; Burkinshaw, Owen. Locally solid Riesz spaces with applications to economics Second. Providence, R. I.: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-3408-8.