有序向量空間
在數學中,有序向量空間(ordered vector space)是帶有偏序的向量空間,並且偏序與向量空間的運算是相容的。又稱偏序向量空間(partially ordered vector space)。
定義
給定實數 上的向量空間 以及集合 上的預序 ,如果對 中任意的 以及非負實數 ,以下公理成立
則有序對 稱為預序向量空間(preordered vector space)。若 還是偏序,則 稱為有序向量空間。這兩條公理說明,平移與正的位似變換是序結構的自同構,並且映射 是到對偶序結構的同構。有序向量空間關於其加法運算構成有序群。
正錐
給定預序向量空間 ,子集 是一個凸錐,稱為 的正錐(positive cone)。若 是有序向量空間,則 ,因此 還是真錐。
若 是實向量空間, 是 的真凸錐,則存在唯一的偏序使得 成為有序向量空間並且 。這個偏序由以下方式給出
若且唯若
因此,向量空間 上(與向量空間結構相容)的偏序與 的真凸錐之間存在一一對應。
例子
- 實數關於通常的順序構成有序向量空間。
- 以下關係都是 上的偏序,且按照從弱到強的順序排列。
只有第二個序是閉集(作為 的子集)。
備註
偏序向量空間中的區間是凸集。設 ,由上面的兩個公理可以得出:如果 ,則 。
參見
參考文獻
- 尼古拉·布爾巴基; Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces; ISBN 0-387-13627-4.
- Schaefer, Helmut H; Wolff, M.P. Topological vector spaces, 2nd ed. New York: Springer. 1999: 204–205. ISBN 0-387-98726-6.
- Aliprantis, Charalambos D; Burkinshaw, Owen. Locally solid Riesz spaces with applications to economics Second. Providence, R. I.: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-3408-8.