正規空間

拓撲學和相關的數學分支中,正規空間Normal space)、T4 空間T5 空間T6 空間是特別優秀的一類拓撲空間。這些條件是分離公理的個例。

定義

 
表示為兩側封閉圓圈的閉集 E 和 F,被表示為更大開放圓圈的它們各自的領域 U 和 V 所分離,它們是不相交的。

假定 X 是拓撲空間。X正規空間若且唯若給定任何不相交閉集 EF, 存在 E鄰域 UF 的鄰域 V 也是不相交的。用較花巧的術語說,這個條件聲稱 EF由鄰域分離的。


XT4 空間,如果它是正規空間和豪斯多夫空間

X完全正規空間繼承正規空間,如果所有 X子空間是正規的。顯然 X 是完全正規的,若且唯若任何兩個分離集合可以由鄰域分離。

XT5 空間,或完全 T4 空間,如果它是完全正規的和豪斯多夫的,或等價的說,如果所有 X 的子空間是 T4 的。

X完美正規空間,如果任何兩個不相交閉集可以由函數完全分離的。就是說,給定不相交閉集 EF,有從 X實直線 R連續函數 f 使得 {0} 和 {1} 在 f 下的前像分別是 EF。在這個定義於可以使用單位區間 [0,1],結果是相同的。明顯的 X 是完美正規的,若且唯若 X 是正規的並且所有閉集是 Gδ 集合。等價的說,X 是完美正規的,若且唯若所有閉集是零集合。所有完美(perfectly)正規空間自動的是完全(completely)正規的。

XT6 空間完美 T4 空間,如它是完美正規和豪斯多夫二者。

注意某些數學文獻對術語「正規」和「T4」與包含這些詞的術語使用了不同的定義。這裡給出的定義是今天最常用的。但是某些作者切換了這兩個術語的意義,或把它們用做同一個條件的兩個同義詞,在閱讀數學文獻的時候要注意看出作者使用的是何種定義。(但是「T5」總是有和「完全 T4」相同的意義)。更多詳情參見分離公理的歷史

你還會見到術語如正規正則空間正規豪斯多夫空間,它們簡單的意味著這個空間是正規的並滿足提及的其他條件。特別的,正規豪斯多夫空間同於 T4 空間。這些術語是有用的,因為它們更少歷史性歧義。在這裡我們使用這些術語,用「正規豪斯多夫」替代「T4」,用「完全正規豪斯多夫」替代「T5」。

全部(fully)正規空間和全部 T4 空間在仿緊緻空間中討論。

局部正規空間是其中所有有開鄰域的點是正規的拓撲空間。所有正規空間都是局部正規的,但是反過來不是真的。不是正規的完全正則局部正規空間的經典的例子是Niemitzki平面

正規空間的例子

數學分析中遇到的多數空間都是正規豪斯多夫空間,或至少是正規正則空間:

還有所有全部正規空間是正規的(即使不是正則的)。謝爾賓斯基空間是非正則的正規空間的例子。

非正規空間的例子

非正規拓撲的重要例子是在代數簇交換環譜上的 Zariski拓撲,它用於代數幾何

與分析有些關係的非正規空間是所有從實直線 R 到自身的函數拓撲向量空間,帶有逐點收斂拓撲。 更一般的說,A. H. Stone的一個定理聲稱不可數多緊緻豪斯多夫空間的乘積永遠不是正規的。

性質

正規空間的主要重要性在於它們都足夠容納連續實數值函數,如下列對任何正規空間 X 都有限的定理所表達的。

烏雷松引理: 如果 ABX 的兩個不相交閉集,則存在從 X 到實直線 R 的連續函數 f 使得 f(x) = 0 對於所有 A 中的 xf(x) = 1 對於所有 B 中的 x。 事實上,我們可以完全在單位區間 [0,1] 內取 f 的值。(用較花巧的術語來說,不相交閉集不只是由鄰域分離的,還是由函數分離的。)

更一般的,蒂茨擴張定理: 如果 AX 的閉子集而 f 是從 AR 的連續函數,則存在連續函數 F: XR,它在對於所有 A 中的 xF(x) = f(x) 的意義上擴張了 f

如果 U 是正規空間 X 的局部有限開覆蓋,則有完全從屬於 U 的一個單位劃分

事實上,任何滿足這些條件之一的空間都必定是正規的。

正規空間的乘積不必需是正規的。這個事實在被 Robert Sorgenfrey 首次證明時是很令人驚訝的。這種現象的一個例子是 Sorgenfrey平面。還有,正規空間的子集不必需是正規的(例如,不是所有正規豪斯多夫空間都是完成正規豪斯多夫空間),因為所有吉洪諾夫空間都是它的 Stone-Cech 緊緻化(它是正規豪斯多夫)的子集。更明確的例子是吉洪諾夫支架

與其他分離公理的聯繫

如果正規空間是 R0,則它事實上是完全正則空間。因此從「正規 R0」到「正規完全正則」的任何東西都同於我們叫做「正規正則」的東西。選取柯爾莫果洛夫商,我們看到所有正規 T1 空間都是吉洪諾夫空間。它們一般被叫做「正規豪斯多夫」空間。

這些變體的反例可以在前面章節中找到。特別是,謝爾賓斯基空間是正規但非正則的,而從 R 到自身的函數空間是吉洪諾夫的但不是正規的。

引用

  • Kemoto, Nobuyuki. Higher Separation Axioms. K.P. Hart, J. Nagata, and J.E. Vaughan (編). Encyclopedia of General Topology. Amsterdam: Elsevier Science. 2004. ISBN 0-444-50355-2. 
  • Willard, Stephen. General Topology. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. 1970. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).