正軸形

在幾何學中，正軸形，或稱交叉形、正交形、超正八面體、餘方形，是一個正的、凸的、存在於任意維度的多胞形。正軸形的頂點坐標都是(±1, 0, 0, …, 0)的全排列，正軸形是這些頂點的凸包。它的(n-1)維表面是(n-1)維的正單純形，而正軸形的頂點圖是前一維的另一正軸形。

n維正軸形也可以用在Rⁿ中ℓ₁-賦范下的單位球（或者，對於某些學者，單位球面）來定義；

$\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}.$

在一維，正軸形就是線段 [−1, +1]，在二維它是正方形（或叫做正菱形），有頂點{(±1, 0), (0, ±1)。在三維它是正八面體—五個正多面體，即柏拉圖立體之一。更高維的正軸形總結如下：

二維 正方形		三維 正八面體		四維 正十六胞體

正軸形是超方形的對偶多胞形。n維正軸形的一階骨架是Turán圖T(2n,n)。

四維

四維正軸形也被叫做正十六胞體。它是6個四維凸正多胞體之一。這些多胞體最先被瑞士數學家路德維希·施萊夫利在19世紀中期描述過。

更高維

正軸形家族是三個延伸至正無窮維的正多胞形家族之一，考克斯特將其標記為β_n，另外兩個是超方形家族，記為γ_n，以及單純形家族，記為α_n第四個非凸多胞形的家族，超方形密鋪家族，他將其標記為δ_n。

n維正軸形有2n個頂點，及2ⁿ個全都是(n−1)-單純體的維面（n−1 維組成元素）。它的頂點圖 都是n − 1維的正軸形。正軸形的施萊夫利符號是{3,3,…,3,4}。n-維正軸形的二面角是

$\arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)$.

n-維正軸形的k-維組成元素（頂點、棱、面、…、維面）的個數由以下公式給出（見二項式係數）：

$2^{k+1}{n \choose {k+1}}$

n-維正軸形的超體積為：

${\frac {\sqrt {2^{n}}}{n!}}.$

這裡有許多能夠以二維圖像展示正軸形的正交投影，皮特里多邊形投影是常用的一種投影，將其頂點，投影到一個2n邊形或更低階的正多邊形上。第二次的投影再投影於更低維中的2(n-1)邊皮特里多邊形，例如雙角錐，我們可將其沿主軸投影，兩個頂點被投影到了投影的中心。

正軸形元素

n	βn k11	名稱 圖像	圖像 2n邊形	圖像 2(n-1)邊形	施萊夫利 符號	考克斯特- 迪肯符號	頂點	棱	面	胞	4-表面	5-表面	6-表面	7-表面	8-表面	9-表面
1	β1	線段 1-正軸體			{}		2
2	β2 −111	正方形 2-正軸體 二維正軸體			{4} {}+{}		4	4
3	β3 011	正八面體 3-正軸體 三維正軸體			{3,4} {30,1,1} {}+{}+{}		6	12	8
4	β4 111	正十六胞體 4-正軸體 四維正軸體			{3,3,4} {31,1,1} 4{}		8	24	32	16
5	β5 211	5-正軸體 五維正軸體			{33,4} {32,1,1} 5{}		10	40	80	80	32
6	β6 311	6-正軸體 六維正軸體			{34,4} {33,1,1} 6{}		12	60	160	240	192	64
7	β7 411	7-正軸體 七維正軸體			{35,4} {34,1,1} 7{}		14	84	280	560	672	448	128
8	β8 511	8-正軸體 八維正軸體			{36,4} {35,1,1} 8{}		16	112	448	1120	1792	1792	1024	256
9	β9 611	9-正軸體 九維正軸體			{37,4} {36,1,1} 9{}		18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512
10	β10 711	10-正軸體 十維正軸體			{38,4} {37,1,1} 10{}		20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024
...
n	βn k11	n-正軸體 n維正軸體			{3n − 2,4} {3n − 3,1,1} n{}	... ... ...	2n 0-表面, ... $2^{k+1}{n \choose k+1}$ k-表面 ..., 2n (n-1)-表面

等軸正軸形的頂點在曼哈頓距離下，任意兩點之間的距離都是相等的（L¹賦規）。庫斯納猜想即是說這個由2d 個點組成的集合是在這距離下最大的等距集。

另見

• 正圖形
• 超正八面體對稱群，正軸形的對稱群。

參考

• Coxeter, H. S. M. 正多胞形 第3版. 紐約: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8.  p. 296, 表 I (iii): Regular polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Cross polytope. MathWorld. 
• Polytope Viewer （點擊<polytopes...>來選擇正軸形。）
• Olshevsky, George, Cross polytope at Glossary for Hyperspace.