泛函分析

泛函分析（英語：Functional Analysis）是現代數學分析的一個分支，隸屬於分析學，其研究的主要物件是函數構成的函數空間。泛函分析歷史根源是由對函數空間的研究和對函數的轉換（如傅立葉轉換等）的性質的研究。這種觀點被證明是對微分方程式和積分方程式的研究中特別有用。

使用泛函這個詞作為表述源自變分法，代表作用於函數的函數，這意味著，一個函數的參數是函數。這個名詞首次被雅克·阿達馬在1910年使用於這個課題的書中。是泛函分析理論的主要奠基人之一。然而，泛函的一般概念以前曾在1887年是由義大利數學家和物理學家維多·沃爾泰拉（Vito Volterra）介紹。非線性泛函理論是由雅克·阿達馬的學生繼續研究，特別是莫里斯·弗雷歇（Maurice Fréchet）可和列維（Levy）。

雅克·阿達馬還創立線性泛函分析的現代流派，並由弗里傑什·里斯和一批圍繞著斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）的波蘭數學家群體利沃夫數學學派（英語：Lwów School of Mathematics）進一步發展。

賦範線性空間

從現代觀點來看，泛函分析研究的主要是實數體或複數域上的完備賦範線性空間。這類空間被稱為巴拿赫空間，巴拿赫空間中最重要的特例被稱為希爾伯特空間，其上的範數由一個內積導出。這類空間是量子力學數學描述的基礎。更一般的泛函分析也研究Fréchet空間和拓撲向量空間等沒有定義範數的空間。

泛函分析所研究的一個重要物件是巴拿赫空間和希爾伯特空間上的連續線性算子。這類算子可以導出C*-代數和其他算子代數的基本概念。

希爾伯特空間

希爾伯特空間（Hilbert）可以利用以下結論完全分類，即對於任意兩個希爾伯特空間，若其基的基數相等，則它們必彼此同構。對於有限維希爾伯特空間而言，其上的連續線性算子即是線性代數中所研究的線性轉換。對於無窮維希爾伯特空間而言，其上的任何態射均可以分解為可數維度（基的基數為 $\aleph _{0}$ ）上的態射，所以泛函分析主要研究可數維度上的希爾伯特空間及其態射。希爾伯特空間中的一個尚未完全解決的問題是，是否對於每個希爾伯特空間上的算子，都存在一個真不變子空間。該問題在某些特定情況下的答案是肯定的。

巴拿赫空間

一般的巴拿赫空間（Banach）比較複雜，例如沒有通用的辦法構造其上的一組基。

對於每個實數 $p$ ，如果 $p\geq 1$ ，一個巴拿赫空間的例子是「所有絕對值的 $p$ 次方的積分收斂的勒貝格可測函數」所構成的空間。（參看Lp空間）

在巴拿赫空間中，相當部分的研究涉及到對偶空間的概念，即巴拿赫空間上所有連續線性泛函所構成的空間。對偶空間的對偶空間可能與原空間並不同構，但總可以構造一個從巴拿赫空間到其對偶空間的對偶空間的一個單同態。

微分的概念可以在巴拿赫空間中得到推廣，微分算子作用於其上的所有函數，一個函數在給定點的微分是一個連續線性映射。

主要結果和定理

泛函分析的主要定理包括：

一致有界定理（亦稱共鳴定理），該定理描述一族有界算子的性質。
譜定理包括一系列結果，其中最常用的結果給出了希爾伯特空間上正規算子的一個積分表達，該結果在量子力學的數學描述中起到了核心作用。
哈恩-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何將一個算子保範數地從一個子空間延拓到整個空間。另一個相關結果是對偶空間的非平凡性。
開映射定理和閉圖定理。

泛函分析與選擇公理

泛函分析所研究的大部分空間都是無窮維的。為了證明無窮維向量空間存在一組基，必須要使用佐恩引理（Zorn's Lemma）。此外，泛函分析中大部分重要定理都構建於哈恩-巴拿赫定理的基礎之上，而該定理本身就是選擇公理（Axiom of Choice）弱於布林質理想定理（Boolean prime ideal theorem）的一個形式。

研究現狀

泛函分析目前包括以下分支：

軟分析（soft analysis），其目標是將數學分析用拓撲群、拓撲環和拓撲向量空間的語言表述。
巴拿赫空間的幾何結構，以Jean Bourgain的一系列工作為代表。
非交換幾何，此方向的主要貢獻者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的遍歷論中的結果為基礎的。
與量子力學相關的理論，狹義上被稱為數學物理，從更廣義的角度來看，如按照伊斯拉埃爾·蓋爾范德所述，其包含表示論的大部分類型的問題。