深度 (模論)

交換代數中, 深度交換環的一種不變量,它可以由正則序列定義,或以同調代數中的Ext函子刻劃。

正則序列

{\displaystyle R}交換環{\displaystyle M}{\displaystyle R}-模。若元素 {\displaystyle x\in R} 滿足 {\displaystyle \forall m\in M,\;xm=0\Rightarrow m=0}(即:{\displaystyle x}{\displaystyle M} 的零因子),則稱之為 {\displaystyle M}-正則元

一組 M-正則序列是一個 {\displaystyle R} 中的有限序列 {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{d})},使得對每個 {\displaystyle 1\leq i\leq d}

{\displaystyle x_{i}}{\displaystyle M/(x_{0},\ldots ,x_{i-1})}-正則元(置 {\displaystyle x_{0}:=0}

定理(Rees):若 {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}局部諾特環,元素皆屬於 {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 的正則序列之置換仍是正則序列,而且這類序列中的極大者都具相同長度。

深度

假設同上,並固定一個理想 {\displaystyle I\subset R}。定義{\displaystyle R}-模 {\displaystyle M}I-深度為元素皆屬於 {\displaystyle I}{\displaystyle M}-正則序列的最大長度,記作 {\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)}(在法文文獻中常記作 {\displaystyle \mathrm {prof} _{I}(M)})。環 {\displaystyle R}{\displaystyle I}-深度定義為 {\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(R)}

{\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)} 亦可用Ext函子刻劃為使得 {\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(R/I,M)\neq 0} 的最小非負整數 {\displaystyle n}

下列等式將深度問題化約到局部環的情形:

 

以下定理揭示了深度與射影維度的關係。

定理 (Auslander-Buchsbaum):設   為局部諾特環  為有限生成  -模,而且其射影維度有限,則

 

文獻