自由（沒有交互作用）的狄拉克場遵守反正則對易關係 ，數學上使用到反交換子
{
a
,
b
}
=
a
b
+
b
a
{\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}
交換子
[
a
,
b
]
=
a
b
−
b
a
{\displaystyle [a,b]=ab-ba}
費米-狄拉克統計 ，並且也能推導出泡利不相容原理 ：兩個相同的費米子不能處於相同的量子態。
狄拉克場表示成
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
狄拉克方程式 ：
(
i
γ
μ
∂
μ
−
m
)
ψ
(
x
)
=
0.
{\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi (x)=0.\,}
其中
γ
μ
{\displaystyle \gamma ^{\mu }\,}
γ矩陣 （或稱作狄拉克矩陣 ），m 代表質量。這個方程式最簡單的解為平面波
ψ
1
(
x
)
=
u
(
p
)
e
−
i
p
.
x
{\displaystyle \psi _{1}(x)=u(p)e^{-ip.x}\,}
ψ
2
(
x
)
=
v
(
p
)
e
i
p
.
x
{\displaystyle \psi _{2}(x)=v(p)e^{ip.x}\,}
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
ψ
(
x
)
=
∫
d
3
p
(
2
π
)
3
1
2
E
p
∑
s
(
a
p
s
u
s
(
p
)
e
−
i
p
⋅
x
+
b
p
s
†
v
s
(
p
)
e
i
p
⋅
x
)
.
{\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\textbf {p}}^{s}u^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\textbf {p}}^{s\dagger }v^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,}
a
{\displaystyle a\,}
b
{\displaystyle b\,}
s
{\displaystyle s\,}
協變性 。由於
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)\,}
算符 ，每個傅立葉基底的係數也必須是算符。因此，
a
p
s
{\displaystyle a_{\textbf {p}}^{s}}
b
p
s
†
{\displaystyle b_{\textbf {p}}^{s\dagger }}
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)\,}
ψ
(
y
)
†
{\displaystyle \psi (y)^{\dagger }}
{
ψ
a
(
x
)
,
ψ
b
†
(
y
)
}
=
δ
(
3
)
(
x
−
y
)
δ
a
b
,
{\displaystyle \{\psi _{a}({\textbf {x}}),\psi _{b}^{\dagger }({\textbf {y}})\}=\delta ^{(3)}({\textbf {x}}-{\textbf {y}})\delta _{ab},}
藉由將
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)\,}
ψ
(
y
)
{\displaystyle \psi (y)\,}
{
a
p
r
,
a
q
s
†
}
=
{
b
p
r
,
b
q
s
†
}
=
(
2
π
)
3
δ
3
(
p
−
q
)
δ
r
s
,
{\displaystyle \{a_{\textbf {p}}^{r},a_{\textbf {q}}^{s\dagger }\}=\{b_{\textbf {p}}^{r},b_{\textbf {q}}^{s\dagger }\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}({\textbf {p}}-{\textbf {q}})\delta ^{rs},\,}
於非相對論系統中的創造與湮滅算符相類似，從這個代數關係得到了這樣的物理詮釋：
a
p
s
†
{\displaystyle a_{\textbf {p}}^{s\dagger }}
p
{\displaystyle {\textbf {p}}\,}
b
q
r
†
{\displaystyle b_{\textbf {q}}^{r\dagger }}
q
{\displaystyle {\textbf {q}}\,}
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)\,}
ψ
¯
=
d
e
f
ψ
†
γ
0
{\displaystyle {\bar {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}
有了對於場及其共軛的瞭解，我們便能試著架構出勞侖茲協變性 的場。最單純的量為
ψ
¯
ψ
{\displaystyle {\overline {\psi }}\psi \,}
ψ
¯
=
ψ
†
γ
0
{\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}
ψ
¯
γ
μ
∂
μ
ψ
{\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }
由於這些量的線性組和同樣符合勞侖茲協變性，很自然地得到了狄拉克場的拉格朗日密度 ，並且其歐拉－拉格朗日方程 必須回到狄拉克方程式 。
L
D
=
ψ
¯
(
i
γ
μ
∂
μ
−
m
)
ψ
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi \,}
這樣的表示將指標隱藏了起來。完整的表示如下：
L
D
=
ψ
¯
a
(
i
γ
a
b
μ
∂
μ
−
m
I
a
b
)
ψ
b
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\bar {\psi }}_{a}(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab})\psi _{b}\,}
由
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
傳播子 ：
D
F
(
x
−
y
)
=
⟨
0
|
T
(
ψ
(
x
)
ψ
¯
(
y
)
)
|
0
⟩
{\displaystyle D_{F}(x-y)=\langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))|0\rangle }
我們定義狄拉克場的時間排序如下，當中的負號來自於其反對易關係的性質：
T
(
ψ
(
x
)
ψ
¯
(
y
)
)
=
d
e
f
θ
(
x
0
−
y
0
)
ψ
(
x
)
ψ
¯
(
y
)
−
θ
(
y
0
−
x
0
)
ψ
¯
(
y
)
ψ
(
x
)
{\displaystyle T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \theta (x^{0}-y^{0})\psi (x){\bar {\psi }}(y)-\theta (y^{0}-x^{0}){\bar {\psi }}(y)\psi (x)}
對上列的式子作平面波的展開，得到：
D
F
(
x
−
y
)
=
∫
d
4
p
(
2
π
)
4
i
(
p
/
+
m
)
p
2
−
m
2
+
i
ϵ
e
−
i
p
⋅
(
x
−
y
)
{\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i(p\!\!\!/+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}}
在此我們用上了費曼斜線標記 。這個式子相當合理，因為係數
i
(
p
/
+
m
)
p
2
−
m
2
{\displaystyle {\frac {i(p\!\!\!/+m)}{p^{2}-m^{2}}}}
即為狄拉克方程式中作用在
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)\,}
純量場 的費曼傳播子也具有相同的性質。由於所有合理的觀測量（例如能量、電荷、粒子數等）都由偶數的狄拉克場所構成，兩個觀測量的對易關係在光錐 外為零。就如同我們從量子力學 中學習到的，兩的可交換的觀察量可以同時被觀測。因此，我們確定了狄拉克場的勞侖茲協變性 ，並維持了因果律 。
而更複雜、包含交互作用的場論（湯川理論 （Yukawa theory）或量子電動力學 ）同樣可以微擾 或非為擾方法作分析。
在粒子物理標準模型 中，狄拉克場扮演很重要的要素。
Edwards, D. (1981). The Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and Super-symmetry, Part I: Lattice Field Theories, International J. of Theor. Phys., Vol. 20, No. 7.
Peskin, M and Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press. (See pages 35-63.)
Srednicki, Mark (2007). Quantum Field Theory （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）ISBN 978-0521864497 .
Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields, (3 volumes) Cambridge University Press. 
![{\displaystyle [a,b]=ab-ba}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bf78c808a8f58515d59d520bdfac43cf80114f)
