現代投資組合理論

現代投資組合理論（英語：Modern Portfolio Theory）歸納了理性投資者如何利用分散投資來最佳化他們的投資組合。現代投資組合理論（MPT）或均值 - 變異數分析是用於組合資產組合的數學框架，使得對於給定的風險水準，預期收益極大化。在理論中，資產的報酬是一個隨機變數。既然一個投資組合是資產的加權組合，投資組合的報酬也應該是一個隨機變數，投資組合的報酬因此有一個期望值和一個變異數。在模型中，風險為投資組合報酬的標準差。近些年來, MPT的基本假設受到了行為經濟學的廣泛挑戰。

風險與報酬

現代投資組合理論假定投資者為風險趨避（Risk Averse）的投資者。如果兩個資產擁有相同預期報酬，投資者會選擇其中風險小的那一個。只有在獲得更高預期報酬的前提下，投資者才會承擔更大風險。換句話說，如果一個投資者想要獲取更大報酬，他（她）就必須接受更大的風險。一個理性投資者會在幾個擁有相同預期報酬的投資組合中間選擇其中風險最小的那一個投資組合。另一種情況是如果幾個投資組合擁有相同的投資風險，投資者會選擇預期報酬最高的那一個。這樣的投資組合被稱為最佳投資組合（Efficient Portfolio）。

均值－變異數分析和馬科維茨效率前緣

一般地說：

投資組合預期報酬：

\operatorname {E} (R_{p})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})\quad

R是期望值報酬，

w_{i}

是第 i 類投資資產的權重（占總投資的比例）

投資組合變異數：

\sigma _{p}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}

投資組合波動：

\sigma _{p}={\sqrt {\sigma _{p}^{2}}}

對於包含兩個資產的投資組合：

投資組合預期報酬： $\operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})$
投資組合變異數： $\sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+2w_{A}w_{B}\ cov_{AB}$

對於包含三個資產的投資組合，變異數為：

w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+w_{C}^{2}\sigma _{C}^{2}+2w_{A}w_{B}\ cov_{AB}+2w_{A}w_{C}\ cov_{AC}+2w_{B}w_{C}\ cov_{BC}

馬科維茨效率前緣（Markowitz Efficient Frontier）是所有最佳投資組合（Efficient Portfolio）的集合。效率前緣曲線上面的每一點都代表一個最佳投資組合，也就是在給定任意一個相同預期報酬的條件下風險最低的投資組合。

市場投資組合

馬科維茨模型前緣包括了所有的最佳投資組合。夏普比率（Sharpe Ratio）是每一個資產組合提供的額外的報酬（高於無風險收益率的報酬）除以它所帶來的風險（以標準差衡量）的比率。夏普比率越高，每一個單位的風險帶來的報酬就越高。馬科維茨效率前緣曲線上擁有最高夏普比率的最佳投資組合稱為市場投資組合（Market Portfolio）。

無風險資產

無風險資產（Risk Free Asset）提供無風險報酬。無風險資產通常是短期政府債券。

資本市場線

馬科維茨有效前緣曲線上的投資組合里並不包含無風險資產。如果將市場投資組合和無風險資產組合在一起，其結果是資本市場線（Capital Market Line 或 CML）。資本市場線上每一點代表的投資組合比有效前緣曲線上的投資組合更加最佳化。這樣，理性投資者將投資一部分資金到無風險資產，其餘的資金投在市場投資組合里。

資本市場線（CML）的方程式是：