電磁四維勢

電磁四維勢（英文：Electromagnetic four-potential）是電磁理論中的一個協變四維向量，它在國際單位制中的單位是伏特·秒/米（在厘米-克-秒制中的單位是馬克士威/厘米），它的定義為（括號中表示在厘米-克-秒制中的形式，下同）

A_{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},-{\vec {A}}\right)\qquad \left(A_{\alpha }=(\phi ,-{\vec {A}})\right)

其中 $\phi \,$ 是電位， ${\vec {A}}\,$ 是磁向量勢。

在本篇文章裏，閔可夫斯基度規的形式被規定為 $diag(1,-1,-1,-1)$ ，這是參考了約翰·傑克森（John D. Jackson）的著作《古典電動力學》中所採用的形式；並且使用了古典的張量代數以及愛因斯坦求和約定。

電場與磁場和相應的純量勢與向量勢的對應關係分別為

{\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\qquad \left(-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)

{\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}

將這兩個勢寫在一起的原因是 $A_{\alpha }$ 是協變的，這意味著它在任意的曲面坐標變換下和一個純量的梯度變換方式相同，即如 ${\frac {\partial \psi }{\partial x^{\alpha }}}\,,$ 的變換形式。這樣四維勢的內積

A_{\alpha }g^{\alpha \beta }A_{\beta }={\frac {\phi ^{2}}{c^{2}}}-|{\vec {A}}|^{2}\qquad \left(A_{\alpha }g^{\alpha \beta }A_{\beta }\,=\phi ^{2}-|{\vec {A}}|^{2}\right)

在任意慣性系下都是一個不變量。

不過，電場與磁場和相應的純量勢與向量勢的對應關係並不是唯一的，通常可以對這兩個勢做如下的變換：

\phi \qquad \rightarrow \qquad \phi +{\frac {\partial \lambda }{\partial t}}\,

{\vec {A}}\qquad \rightarrow \qquad {\vec {A}}-\nabla \lambda \,

這組變換稱作規範變換，在規範變換下電場和磁場仍然保持不變，因此相應的電純量勢和磁向量勢並沒有確定下來。

人們習慣在慣性參考系中採用勞侖次規範條件 $\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0$ ，實際上加上這組規範條件也並不能完全確定四維勢（規範變換依然成立），但這樣做的好處是這組規範條件具有勞侖茲不變性。

此時電磁場的馬克士威方程組可化簡為下面的形式：

\Box A_{\alpha }=\mu _{0}\eta _{\alpha \beta }J^{\beta }\qquad \left(\Box A_{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}\eta _{\alpha \beta }J^{\beta }\right)

其中 $J^{\beta }\,$ 是四維電流向量，

而

\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}

是達朗貝爾算符。

如果寫成電純量勢和磁向量勢，則有

\Box \phi ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\qquad \left(\Box \phi =4\pi \rho \right)

\Box {\vec {A}}=\mu _{0}{\vec {j}}\qquad \left(\Box {\vec {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\right)

對給定的分別為 $\rho ({\vec {x}},t)$ 和 ${\vec {j}}({\vec {x}},t)$ 的電荷和電流分布，方程式在國際單位制中的解為

\phi ({\vec {x}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho ({\vec {x}}^{\prime },\tau )}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}

{\vec {A}}({\vec {x}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {{\vec {j}}({\vec {x}}^{\prime },\tau )}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}

,

其中 $\tau =t-{\frac {\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|}{c}}$ 是推遲時間。有時方程式也用 $\rho ({\vec {x}}',\tau )=[\rho ({\vec {x}}',t)]\,$ 這樣的形式表示對於時間變量應該用推遲時間來計算。當然，由於上面的方程式是非齊次的微分方程式，相應的齊次方程式解加上非齊次方程式的任何特解都會滿足邊界條件。一般來說，對應的齊次方程式解表徵著遠源傳播的電磁波。

對一些典型情形（例如振盪電流或電荷）進行上面的積分時，積分會同時給出以 $r^{-2}\,$ 形式變化的磁場（感生磁場）和以 $r^{-1}\,$ 形式變化的電磁場（輻射場）。

參考文獻

Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853952-5.
Jackson, J D. Classical Electrodynamics (3rd). New York: Wiley. 1999. ISBN 0-471-30932-X.

電磁四維勢

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