皮爾森卡方檢定

最著名的卡方檢定之一

皮爾森卡方檢定(英語:Pearson's chi-squared test)是最有名卡方檢定之一(其他常用的卡方檢定還有葉慈連續校正英語Yates's correction for continuity概似比檢定英語Likelihood-ratio test一元混成檢定英語Portmanteau test等等--它們的統計值之機率分配都近似於卡方分配,故稱卡方檢定)。「皮爾森卡方檢定」最早由卡爾·皮爾森在1900年發表,[1] 用於類別變數的檢定。科學文獻中,當提及卡方檢定而沒有特別指明類型時,通常即指皮爾森卡方檢定。

原假設

「皮爾森卡方檢定」的虛無假說(H0)是:一個樣本中已發生事件次數分配會遵守某個特定的理論分配。

在虛無假說的句子中,「事件」必須互斥,並且所有事件總機率等於1。或者說,每個事件是類別變數(英語:categorical variable)的一種類別或級別(英語:level)。

簡單的例子:常見的六面骰子,事件=丟骰子的結果(可能是1~6任一個)屬於類別變數,每一面都是此變數的一種(一個級別)結果,每種結果互斥(1不是2, 3, 4, 5, 6; 2不是1, 3, 4 ...),六面的機率總和等於1。

用途和步驟

「皮爾森卡方檢定」可用於三種情境的變項比較:擬合度檢定英語Goodness of fit同質性檢定英語Homogeneity_and_heterogeneity_(statistics)獨立性檢定

  • 「適合度檢定」驗證一組觀察值的次數分配是否異於理論上的分配。
  • 「同質性檢定」可以比較在使用相同的分類變數時,兩組或兩組以上群體的計數分布。
  • 「獨立性檢定」驗證從兩個變數抽出的配對觀察值組是否互相獨立(例如:每次都從A國和B國各抽一個人,看他們的反應是否與國籍無關)。

不管哪個檢定都包含三個步驟:

  1. 計算卡方檢定的統計值「   」:把每一個觀察值和理論值的差做平方後、除以理論值、再加總。
  2. 計算   統計值的自由度 」。
  3. 依據研究者設定的信心水準(顯著性水平P值或對應Alpha值),查出自由度為   的卡方分配臨界值,比較它與第1步驟得出的   統計值,推論能否拒絕虛無假說

適合度檢定

適合度檢定(英語:Goodness of Fit test):測試樣本的機率分配母體有多相似。

母體假設為離散型均勻分配

當理論上的母體分配為每個類別機率一致時,即應適用離散型均勻分配的計算方法。   個觀察值於理論上應均勻分配在所有的   個欄位(類別)中,因此每個欄位(類別)的「理論次數」(或期望值次數)為:

 ,其中  

自由度   。「 」是總共要計算離差平方的個數(每個類別計算一次觀察值與理論值的差,再平方)。「 」是因為對於計算 而言只有一個限制條件:觀察值的個數總和為  

母體假設為其他種分配

貝氏算法

例子

獨立性檢定

在同一個個體(例如:同一個人)身上有兩個二元變數(X, Y),例如 X(男/女)和 Y(右撇子/左撇子),觀察兩個變數的相關性。虛無假說是:兩個變數呈統計獨立性。在本例中:性別與慣用手是獨立事件。

  • 首先,每個觀察值(每個抽出的人)會被重新編排到一個叫做「列聯表」(英語:contingency table,又稱:條件次數表)的二維表格裡。本例的列聯表是2×2的構造(不算入Total欄位):
總計
43 44 87
9 4 13
總計 52 48 100
  • 如果列聯表共有 r 行 c 列,那麽在獨立事件的假設下,每個欄位的「理論次數」(或期望值次數)為:
 
其中 N 是樣本大小(觀察值的個數,亦即2×2列聯表所有欄位的總和,本例:N = 100)。本例的各欄位期望值如下(括號裡的數字):
總計
43 (45.24) 44 (41.76) 87
9 (6.76) 4 (6.24) 13
總計 52 48 100
  •  統計值的公式是:
 
本例的 統計值是:
 
  • 自由度   是這樣得出:雖然總共要計算   個離差平方(每個欄位計算一次觀察值與理論值的差,再平方),但 X 變數有1個限制條件(樣本抽出後,男性的人數即固定),Y 變數也有1個限制條件(樣本抽出後,右撇子的人數即固定),所以可自由變動的欄位數只有  
在本例中 
  •   的條件下,得出卡方分配右尾機率  ,無法拒絕虛無假說,亦即:無法拒絕性別變數與慣用手變數互相獨立的假設

限制

  1. 如果個別欄位的期望值次數太低,會使機率分配無法近似於卡方分配。一般要求:自由度  時,期望值次數小於5的欄位不多於總欄位的20%。
  2. 若自由度  ,且若期望值次數   ,則近似於卡方分配的假設不可信。此時可以將每個觀察值的離差減去   之後再做平方,這便是葉慈連續校正英語Yates's correction for continuity

參考文獻

引用

期刊文章

書籍