動差母函數

機率論用語

機率論統計學中,一個實數值隨機變數動差母函數moment-generating function)又稱動差生成函數動差亦被稱作矩,動差生成函數是其機率分布的一種替代規範。 因此,與直接使用機率密度函數累積分布函數相比,它為分析結果提供了替代途徑的基礎。 對於由隨機變數的加權和定義的分布的動差生成函數,有特別簡單的結果。 然而,並非所有隨機變數都具有動差生成函數。

顧名思義,動差生成函數可用於計算分布的動差:關於 0 的第個動差是動差生成函數的第階導數,在 0 處求值。

除了實值分布(單變量分布),動差生成函數可以定義為向量或矩陣值的隨機變數,甚至可以擴展到更一般的情況。

特徵函數不同,一個實數值分布的動差生成函數並不總是存在。 分布的動差生成函數的行為與分布的性質之間存在關係,例如動差的存在。

定義

隨機變數 的動差母函數定義為:

 

前提是這個期望值存在。

計算

如果 具有連續機率密度函數 ,則它的動差母函數由下式給出:

 
 
 

其中 是第 階動差。  雙邊拉普拉斯轉換

不管機率分布是不是連續,動差母函數都可以用黎曼-斯蒂爾吉斯積分給出:

 

其中 累積分布函數

如果 是一系列獨立的隨機變數,且

 

其中 是常數,則 的機率密度函數是每一個 的機率密度函數的摺積,而 的動差母函數則為:

  。

對於分量為實數向量值隨機變數X,動差母函數為:

 

其中 是一個向量, 數量積

意義

只要動差母函數在 周圍的開區間存在,第 個動差為:

  。

如果動差母函數在這個區間內是有限的,則它唯一決定了一個機率分布。

一些其它在機率論中常見的積分轉換也與動差母函數有關,包括特徵函數以及機率生成函數

累積量生成函數是動差母函數的對數。

例子

下面是一些動差生成函數和特徵函數的例子,用於比較。 可以看出,特徵函數是動差生成函數 存在時的威克轉動(Wick rotation)

分布 動差生成函數   特徵函數  
退化      
伯努利      
幾何    
 
 
二項式      
負二項  [註 1]  [1]  
卜瓦松      
均勻(連續型)      
均勻(離散型)      
拉普拉斯      
常態      
卡方(Chi-squared)      
Noncentral chi-squared      
伽瑪(Gamma)      
指數(Exponential)      
多元常態      
柯西(Cauchy)   不存在  
Multivariate Cauchy

 [2]

不存在  

參見

  1. ^ 此處定義為:每次獨立隨機試驗的成功率為 時,第 次成功前的失敗次數的分布。定義上的差異詳見負二項分布

參考文獻

  1. ^ Weisstein, Eric W. (編). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2022-11-21] (英語). 式(11)。
  2. ^ Kotz et al.[需要完整來源] p. 37 using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution