算術研究
《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae）是德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯於1798年寫成的一本數論教材，在1801年他24歲時首次出版。全書用拉丁文寫成。在這本書中高斯整理匯集了費馬、歐拉、拉格朗日和勒讓德等數學家在數論方面的研究結果，並加入了許多他自己的重要成果。
寫作歷史
高斯在1796年就準備寫一本數論的著作。一年後，他完成了初稿。1797年11月，高斯開始對初稿進行重寫和修訂，使之成為可以印刷出來的成熟版本。印刷工作於1798年4月開始，但由於機器的原因，速度緩慢。然而這也使得高斯有時間補充一些新的內容，特別是第五章的二次互反律的部分：1801年夏季最終出版時的長度已經是初稿時的兩倍。[1]
主題
《算術研究》包括了初等數論和現在稱為代數數論領域的一部分。然而，高斯在書中並未認識到抽象代數的核心：群的概念，因此沒有加以應用。高斯將這本書的主題定位為他所稱的「高等算術」。在這本書的序言一開頭，高斯明確地說到：
| “ | 本書將要研究的問題屬於數學中如下的一部分：其考慮的對象只限於整數，偶爾涉及分數，但絕對與無理數無關。[2] | ” |
內容
全書有655頁，分為七個部分共335篇文章，由淺入深，從同餘理論起步，探討了同餘齊次式、同餘方程和二次剩餘理論。在二次剩餘理論中，高斯在前人的基礎上首次給出了二次互反律的證明。其後高斯又得出了雙二次互反律和三次互反律，並對所謂的高斯整數進行了研究，得到了代數數論的一些基本成果[1]。
- 第一部分：同餘概論。建立了到今天仍在使用的同餘的概念和記號。
- 第二部分：主要研究線性同餘方程，給出了算術基本定理、輾轉相除法、中國剩餘定理等初等數論的基本結果。
- 第三部分：「冪剩餘論」。討論了費馬小定理、原根的存在性和威爾遜定理。
前三部分的內容大都是其他數學家的成果，但高斯是首個將這些成果系統地匯集在一本書裡的人。他也是首個意識到唯一分解定理之重要性的人。
進入第四部分後，大部分內容便是高斯的原創了。
- 第四部分：「二次同餘論」。重點討論了二次剩餘的理論。高斯提出了他視為「從中可以推得幾乎所有與二次剩餘有關的東西」[3] 的「基礎定理」的二次互反律：
- 如果p是形式為4n+1，那麼p（如果p是形式為4n+3那麼-p）是模每個為模p的二次剩餘（非剩餘）的質數的二次剩餘（非剩餘）。
- 高斯將這個命題分成多個單獨情況，然後用歸納法給出了第一個證明，並運用這個定理得到了一些基本結果[1][2]。
- 第五部分： 「二次型與二次不定方程」。這一部分占據了全書的一半有多[1]，高斯研究了模p同餘中的整係數二次型以及二次型本徵等價的性質，得到了整數表示為二次形式的一般規律。之後高斯又研究了二次型的分類以及約簡。並觸及了雙二次互反律和三次互反律的研究。
- 第六部分： 前五章結論的應用。前五章，特別是第四、五章得到的豐富成果使得在這章用來解決很多問題。高斯討論了分數分解，十進展開以及二次同餘的問題，並提出了兩個素性檢驗的方法。
- 第七部分： 分圓多項式和尺規作圖。高斯探求了尺規作圓內接正多邊形的方法，並給出了圓內接正19邊形和正17邊形的作法。並得到了所謂的「高斯和」的概念以及一些相關成果[1]。
高斯曾經寫過《算術研究》的第八部分，探討更高次的同餘方程，但並沒能完成。草稿在他逝世後分批出版[1]。
影響
在《算術研究》發表以前，數論研究只是一些孤立定理與猜想。高斯首次將這些零星的結果加以系統的處理，修補和改進了以往的證明，並在此之上發展出了自己的一系列理論與成果。《算術研究》是現代數論研究的開端[4]。
《算術研究》一書的邏輯結構——聲明定理、給出證明，然後給出系理或推論——為以後的教科書編寫提供了一個榜樣，成了後世教材的標準結構。為了使讀者能夠理解證明的邏輯思路，高斯在證明後會給出相應的例子，這一點也為後來的教材所採用[1]。
《算術研究》亦是十九世紀歐洲數學家如庫默爾、狄利克雷和戴德金等人著書的出發點。他們繼承了高斯的研究。許多《算術研究》中的評註和沒有證明的命題成為了新的研究熱點。即使到了二十世紀，《算術研究》仍在產生影響。比如第五部分中高斯簡要地敘述了他關於虛二次域類數的計算，並猜想他已經找到了所有類數為1、2和3的虛二次域。這個後來稱為類數問題的猜想直到1986年才獲得了肯定的答案[5]。同樣在第五部分，高斯證明了可以被解釋為黎曼猜想的第一類非平凡情況：哈斯-韋伊定理[6]。
譯本和相關著作
《算術研究》雖然是一部十分重要的數論著作，但由於全書以拉丁文寫就，內容深奧難懂，因此將其翻譯成各國語言和進行注釋闡述的工作一直不斷。1807年，《算術研究》的法文譯本出版。1863年，狄利克雷寫了《數論講義》（Vorlesungen über Zahlentheorie）一書，對《算術研究》作了明晰的闡釋。1889年德文譯本出版。1959年出版了俄文譯本；1965年出版了英文版。
引用
《算術研究》常常被引用，出現在各種數學論文、著作和教材的注釋中。引用時一般簡寫為「DA」[1]。
評價
- 「高斯曾說：『數學是科學的女皇，數論則是數學的女皇。』如果這是真理，我們還可以補充一點：《算術研究》是數論的憲章。」——莫里茲·康托爾
- 「此書（《算術研究》）是一座不朽的豐碑，揭示了人類思想所能達到的浩瀚的廣度和令人驚嘆的深度。」——愛德華·盧卡斯
- 「眾書之王」——利奧波德·克羅內克
- 「高斯首次將數學的這個部分（數論）變成了一門獨立的科學，而《算術研究》則是第一部詳盡而系統的著作。……由於雅可比和狄利克雷……這本二十年來一直被七道漆封的著作成為了當代的數學。……封漆還未完全解開。」——約翰·西奧多·梅茲
- 「數論曾一度止步不前，……這就是為什麼深奧而新穎的《算術研究》預示著高斯將成為歐洲最偉大的頭腦之一。」——路易·潘索
參見
注釋及參考來源
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Catherine Goldstein; Norbert Schappacher, Joachim Schwermer. The Shaping of Arithmetic after C.F.Gauss's Disquisitiones Arithmeticae. 施普林格出版社（Springer）. 2007年. ISBN 3-540-20441-5 （英語）.
- ^ 2.0 2.1 Carl Friedrich Gauss; Poullet-Delisle 譯. Recherches Arithmetiques. 1807年 （法語）.
- ^ DA,art.131:「...omnia fere quae de residuis quadraticis dici possunt, huic theoremati innituntur.」
- ^ 《算术研究》介绍. [2008-08-27]. （原始內容存檔於2016-03-04）.
- ^ Ireland, K.; Rosen, M., A Classical Introduction to Modern Number Theory, New York, New York: Springer-Verlag: 358–361, 1993, ISBN 038797329X
- ^ Silverman, J.; Tate, J., Rational Points on Elliptic Curves, New York, New York: Springer-Verlag: 110, 1992, ISBN 0387978259
- Carl Friedrich Gauss tr. Arthur A. Clarke: Disquisitiones Aritmeticae, Yale University Press, 1965 ISBN 0-300-09473-6
- Disquisitiones Arithmeticae （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）