定義
基本性質
- 若 是諾特環,則其直積 亦然。
- 若 是諾特環, 是任一理想,則其商環 亦然。
- 若 是諾特環,則其上的多項式環 及冪級數環 都是諾特環。
- 若 是交換諾特環,則其對任一積性子集 的局部化也是諾特環。
- 若 是交換環, 為一有限生成理想,且 是諾特環,則其完備化 也是諾特環。
- 一個左(右)阿廷環必定是左(右)諾特環。
例子
- 整數環 是諾特環。
- 對任意的域 ,多項式環 及其商是諾特環。這是代數幾何中最常見的情形。
以下是非諾特環的例子:
- 考慮有可數個變元的多項式環 ,並考慮升鏈 ,此升鏈不會固定。
- 考慮 上的全體連續函數,它們在逐點作乘法下構成一個環。考慮升鏈 ,此升鏈不會固定。
諾特群環
考慮一個群和一個環上的群環。如果環是一個交換環,群環是一個左諾特環若且唯若它是一個右諾特環。這是因為,此時群環的左、右理想之間存在自然的一一對應。對於非交換環這個結論不再成立。如果群環是一個左/右/雙邊諾特環,那麼它的環是左/右/雙邊諾特環,並且它的群是一個諾特群。反之,如果任意諾特交換環以及多循環群被有限群的群擴張構成的群環都是雙邊諾特環。
參見條目
文獻
- Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X