錢珀瑙恩數

錢珀瑙恩數（Champernowne constant）C₁₀是一個實數的超越數，其十進制表示法有重要的特性，得名自數學家D. G.錢珀瑙恩，在1933年以本科生(劍橋大學)的身份發表有關錢珀瑙恩數的論文。

在十進制下，可以用連續整數來定義錢珀瑙恩數：

$C_{10}=0.12345678910111213141516...$ （OEIS數列A033307）.

也可以定義其他進制系統下的錢珀瑙恩數：

$C_{2}=(0.1101110010111011110001001...)_{2}$

$C_{3}=(0.12101112202122100101102110...)_{3}$

$C_{36}=(0.123456789ABCDEFGHIJ...)_{36}$

錢珀瑙恩字（Champernowne word）或是巴比爾字（Barbier word）是指由C_k各位數形成的數列。

十進制下的錢珀瑙恩數C₁₀為正規數，是每個數字出現機會均等的實數。

性質

實數x若在某一進制b下，其數字都是均勻分佈，此實數在底數b下為正規數]。均勻分佈的意思是所有數字出現比率相近，所有二位數字組合出現比率相近，所有三位數字組合出現比率相近等。若實數在所有進制都是正規數，則稱為絕對正規數。

若將一數字的各位數組成一字串，為[a₀, a₁, ...]，而此數字在10進制下正規數，因此可以預期，此字串中，字串[0], [1], [2], …, [9]出現的機率都是1/10，而字串[0,0], [0,1], ..., [9,8], [9,9]出現的機率都是1/100。

錢珀瑙恩證明了$C_{10}$在十進制下為正規數，Nakai和Shiokawa證明了更通用的定理：也就是$C_{b}$在b進制下都會正規數。有關在$b\neq k$的條件下，$C_{k}$在b進制是否是正規數，這問題是還沒有答案的開放問題。例如，目前還不知道$C_{10}$在9進制下是否是正規數。例如$C_{10}$的前54位數是0.123456789101112131415161718192021222324252627282930313，在9進制下表示為${0.10888888853823026326512111305027757201400001517660835887}_{9}$。

Kurt Mahler證明錢珀瑙恩數是超越數。$C_{10}$的無理性度量（表示用有理數近似此數字的困難程度）為$\mu (C_{10})=10$，而針對$b\geq 2$的進制$b$，$\mu (C_{b})=b$。

相關條目

• 科普蘭—艾狄胥常數：另一個用質數定義的正規數。
• 劉維爾數：另一個用十進制定義的超越數。

文獻

• Cassaigne, J.; Nicolas, F. Factor complexity. Berthé, Valérie; Rigo, Michel (編). Combinatorics, automata, and number theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 135. Cambridge: Cambridge University Press. 2010: 163–247. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl 1216.68204. 
• Champernowne, D. G., The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, 1933, 8 (4): 254–260, doi:10.1112/jlms/s1-8.4.254 .
• Nakai, Y.; Shiokawa, I., Discrepancy estimates for a class of normal numbers, Acta Arithmetica, 1992, 62 (3): 271–284, doi:10.4064/aa-62-3-271-284  

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Champernowne constant. MathWorld. 
• The fantastic pencil and the Champernowne constant （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）