克卜勒方程式

克卜勒方程式(英語:Kepler's equation)把軌道力學中受到連心力影響的軌道中天體多種幾何性質聯繫起來。

圖為五種由0到1不同離心率的克卜勒方程式解

這條方程式最早由約翰內斯·克卜勒得出,推導過程見於他在1609年出版的著作《新天文學》的第60章[1][2],而他在著作《哥白尼天文學概要英語Epitome of Copernican Astronomy》(1621年出版)的第五卷中還提出了此方程式的一個迭代解[3][4]。這條方程式在物理學史和數學史上都扮演著重要的角色,特別是在古典天體力學史上。

方程式

克卜勒方程式如下:

 

其中M平近點角E偏近點角,而e則為離心率.

偏近點角E對於計算克卜勒軌道上移動點的位置相當有用。比方說,天體在座標x = a(1 − e)y = 0和時間t = t0時經過近星點,那麼要找出天體在任意時間的位置的話,首先可由時間和平均運動n用方程式M = n(tt0)計算出平近點角M,然後解上述的克卜勒方程式得E,便能由下列方程式求座標:

 

其中a半長軸,而b則為半短軸

由於正弦超越函數,所以克卜勒方程式是超越方程式,即是說不能用代數方法解出E。一般求E需要用到數值分析級數

其他形式

克卜勒方程式共有幾種形式。每一種形式都同一種特定軌道類型有關。標準的克卜勒方程式用於橢圓軌道(0 ≤e<1)。雙曲克卜勒方程式用於雙曲軌跡(e≫1)。徑向克卜勒方程式用於線性(徑向)軌跡 (e=1)。拋物線軌跡(e=1)則用巴克方程式英語Parabolic trajectory#Barker's equation

e = 0時,軌道是圓形的。增加e會導致圓形變成橢圓。當e = 1時共有三種可能性:

  • 拋物線軌跡;
  • 沿著從吸引中心起始無限長射線向內或向外的軌跡;
  • 或沿著由吸引中心和距其一定距離的點所形成的線段來回移動的軌跡。

e從1輕微增加會形成轉角剛好低於180度的雙曲軌道。繼續增加數值會導致轉角變小,而當e趨向無限時,軌道則變成長度無限的直線。

雙曲克卜勒方程式

雙曲克卜勒方程式如下:

 

其中H為雙曲偏近點角。 這條方程式是通過把M重新定義為−1的平方根乘上橢圓方程式的右邊而得:

 

(其中E現為虛數),然後以iH取代E

徑向克卜勒方程式

徑向克卜勒方程式如下:

 

其中t與時間成正比,而x則與射線上與吸引中心的距離成正比。下式是通過把克卜勒方程式成1/2並把e定為1而成:

 

代入得

 

逆問題

可以利用已知的E值直接求出M。但用已知M值來求E卻要複雜得多。因為不存在解析解

可以使用拉格朗日反算法英語Lagrange inversion theorem寫出克卜勒方程式解的級數表達式,但所有eM的組合都不能使級數收斂(見下文)。

文獻中對克卜勒方程式可解性的混淆已存在了四個世紀[5]克卜勒本人曾對找得到通解的可能性表示懷疑。

逆克卜勒方程式

逆克卜勒方程式是所有實數值 的克卜勒方程式解:

 

展開得:

 

以上的級數可用Wolfram Mathematica的InverseSeries運算得出。

InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]]
InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]

這些函數只是簡單的麥克勞林級數。這樣的超越函數泰勒級數寫法可被視為那些函數的定義。因此,這個解是逆克卜勒方程式的正式定義。然而,在e非零的時候,E並不是M整函數。其導數

 

e<1時於無限複數集合中趨向零。在 有解,而在這些值時

 

(其中逆cosh取正值),而dE/dM在這些點則趨向無限。這意味著此麥克勞林級數的收歛半徑為 ,並且當M比這大時級數不會收歛。此級數還可用於雙曲情況,此時其收歛半徑為 。當e=1時此級數只在M<2π時收歛。

還可以寫出用e冪表示的麥克勞林級數。這級數在e大於拉普拉斯極限(約為0.66)時不會收歛,與M值無關(除非M的倍數),但若e小於拉普拉斯極限時則級數在任何M值時都會收歛。級數的係數除了第一個之外(只是M而已),都與M成週期式關係,週期為

逆徑向克卜勒方程式

逆徑向克卜勒方程式(e = 1)可被寫成:

 

展開得:

 

上述結果可用Wolfram Mathematica求得:

InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]] - Sqrt[(1 - t) t], {t, 0, 15}]]

逆問題的數值近似

逆問題在大部份的應用中都能以數值方法求得函數的

 

可以經牛頓法來進行迭代:

 

注意在這個計算EM的單位是弧度角。重覆迭代直到已經達到想要的準確度(例如,當f(E) < 所需的準確度)。對大部份的橢圓軌道而言,起始值取E0 = M(t) 已經足夠。而對e > 0.8的軌道而言,則應取起始值{{{1}}}。相近的手法還可以用於克卜勒方程式的雙曲形式[7]:66-67。而在面對拋物線軌跡的個案時則使用巴克方程式英語Parabolic trajectory#Barker's equation

定點迭代

另一種有關的解法由考慮 開始。重覆地將E的值代入右方式子就能得到簡單的求 定點迭代英語fixed point iteration算法。此方法與克卜勒1621年的解相同[4]

function E(e,M,n)
    E = M
    for k = 1 to n
        E = M + e*sin E
    next k
    return E

迭代次數 取決於 的數值。雙曲形式則用相近的 

這個方法與上文牛頓法解的關係如下:

 

  的數值小的話,取一次項得近似:

 

另見

參考資料

  1. ^ Kepler, Johannes. LX. Methodus, ex hac Physica, hoc est genuina & verissima hypothesi, extruendi utramque partem æquationis, & distantias genuinas: quorum utrumque simul per vicariam fieri hactenus non potuit. argumentum falsæ hypotheseos. Astronomia nova. 1609: 299–300 [2018-09-06]. (原始內容存檔於2019-06-11) (拉丁語). 
  2. ^ Aaboe, Asger. Episodes from the Early History of Astronomy. Springer. 2001: 146–147. ISBN 978-0-387-95136-2. 
  3. ^ Kepler, Johannes. Libri V. Pars altera.. Epitome astronomiæ Copernicanæ usitatâ formâ Quæstionum & Responsionum conscripta, inq; VII. Libros digesta, quorum tres hi priores sunt de Doctrina Sphæricâ. 1621: 695–696 [2018-09-06]. (原始內容存檔於2019-06-19) (拉丁語). 
  4. ^ 4.0 4.1 Swerdlow, N. M. Kepler's Iterative Solution to Kepler's Equation. Journal for the History of Astronomy英語Journal for the History of Astronomy. 2000, 31: 339–341 [2018-09-06]. Bibcode:2000JHA....31..339S. doi:10.1177/002182860003100404. (原始內容存檔於2019-07-12). 
  5. ^ 克卜勒方程式常被聲稱「沒有解釋解」;例子見這裏頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)。至於這是否真確取決於是否認為無限級數(或不一定收歛的級數)算解釋解。也有其他作者無理地聲稱此方程式無解;例子見M. V. K. Chari, Sheppard Joel Salon 2000 Technology & Engineering.
  6. ^ "Mihi ſufficit credere, ſolvi a priori non poſſe, propter arcus & ſinus ετερογενειαν. Erranti mihi, quicumque viam monſtraverit, is erit mihi magnus Apollonius."頁面存檔備份,存於網際網路檔案館Hall, Asaph. Kepler's Problem. Annals of Mathematics. May 1883, 10 (3): 65–66. doi:10.2307/2635832. 
  7. ^ Pfleger, Oliver Montenbruck, Thomas. Astronomy on the Personal Computer Third edition. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. 1998. ISBN 978-3-662-03349-4. 

外部連結