黑格納數

黑格納數（Heegner number）指滿足以下性質，非平方數的正整數：其虛二次域Q(√−d)的類數為1，亦即其整數環為唯一分解整環^{[註解 1]}^[1]。

黑格納數只有以下九個： 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。（OEIS數列A003173）

高斯曾猜測符合上述特性的數只有九個，但未提出證明，1952年庫爾特·黑格納（英語：Kurt Heegner）提出不完整的證明，後來由哈羅德·斯塔克提出完整的證明，即為斯塔克–黑格納定理（英語：Stark–Heegner theorem）。

歐拉的質數多項式

n^{2}+n+41,\,

在n = 1, ..., 40時會產生不同的40個質數，這相關於黑格納數163 = 4 · 41 − 1.

歐拉公式， $n$ 取值為1,... 40和以下的多項式

n^{2}+n+41,\,

讓 $n$ 取值0,... 39時等效，而Rabinowitz^[2]證明了

n^{2}+n+p\,

在 $n=0,\dots ,p-2$ 時，多項式為質數的充份必要條件為其判別式 $1-4p$ 等於負的黑格納數。

（若代入 $p-1$ 會得到 $p^{2}$ 一定不是質數，因此最大值只能取到 $p-2$ ）

1, 2和3不符合要求，因此符合條件的黑格納數為 $7,11,19,43,67,163$ ，也就表示可以讓歐拉公式產生質數的p為 $2,3,5,11,17,41$ ，這些數字被弗朗索瓦·勒·利奧奈（英語：François Le Lionnais）稱為歐拉的幸運數（英語：lucky numbers of Euler）^[3]。

拉馬努金常數是 $e^{\pi {\sqrt {163}}}$ 的值，是超越數^[4]，但非常接近整數：

e^{\pi {\sqrt {163}}}=262,537,412,640,768,743.999\ 999\ 999\ 999\ 25\ldots

這個數字是在1859年由數學家夏爾·埃爾米特發現^[5]，在1975年愚人節的《科學美國人》^[6]，《數學遊戲》的專欄作家馬丁·加德納故意聲稱這個數字其實是整數，而印度數學天才斯里尼瓦瑟·拉馬努金也預測了這個數很接近整數，因此以他的名字來命名。

^ Q(√−d)的整數環為唯一分解整環，也就表示Q(√−d)的數字都只有一種因數分解方式，例如Q(√−5)的整數環不是唯一分解整環，因為6可以以兩種方式在 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 中表成整數乘積： $2\times 3$ 和 $(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})$ 。

^ Conway, John Horton; Guy, Richard K. The Book of Numbers. Springer. 1996: 224. ISBN 0-387-97993-X.
^ Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
^ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.
^ Weisstein, Eric W. (編). Transcendental Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. gives $e^{\pi {\sqrt {d}}},d\in Z^{*}$ , based on Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.
^ Barrow, John D. The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. 2002. ISBN 0-224-06135-6.
^ Gardner, Martin. Mathematical Games. Scientific American (Scientific American, Inc). April 1975, 232 (4): 127.