偽亂數二進位數列

偽亂數二進位數列（英语：pseudorandom binary sequence，简称：PRBS），是一種特別的二進位數列 $a_{0},\ldots ,a_{N-1}$ ，若二進位數列的位元數為N，其中為1的數字有m個，則其其自相关函数：

C(v)=\sum _{j=0}^{N-1}a_{j}a_{j+v}

只有以下二個值：

C(v)={\begin{cases}m,{\mbox{ if }}v\equiv 0\;\;({\mbox{mod}}N)\\\\mc,{\mbox{ otherwise }}\end{cases}}

其中

c={\frac {m-1}{N-1}}

稱為偽亂數二進位數列的占空比，類似連續時間信號的占空比。

偽亂數二進位數列稱為偽亂數，雖然它是決定性的，不過其 $a_{j}$ 的數值和前後元素的數值無關，看似隨機的，因此稱為偽亂數。

偽亂數二進位數列可以延伸到無限長，方式是在 $N$ 個元素都出現過之後，再從 $a_{0},\ldots ,a_{N-1}$ 再出現一次……，這點和真正的由放射性衰減或白雜訊產生的數列不同，後者在本質上就是無限長的。偽亂數二進位數列比最大長度數列更普遍，後者是特別的N位元偽亂數二進位數列，是由線性移位暫存器所產生的。最大長度數列的占空比恆為50%，長度為k位元的暫存器，其數列長度為 $N=2^{k}-1$ 。偽亂數二進位數列可以用在電信、密碼學及模擬等應用。

實際的實現

PRBS-15的示意圖，

x^{15}+x^{14}+1

中的

x^{15}

和

x^{14}

表示將第15和14個位元進行XOR後，做為新的位元

偽亂數二進位數列可以用线性反馈移位寄存器產生^[1]。

一些常見的的數列產生多項式為

PRBS7 = $x^{7}+x^{6}+1$

PRBS15 = $x^{15}+x^{14}+1$

PRBS23 = $x^{23}+x^{18}+1$

PRBS31 = $x^{31}+x^{28}+1$

以下是一個用 PRBS-7 產生偽亂數二進位數列的C語言程式

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
#include <stdlib.h>
    
int main(int argc, char* argv[]) {
    uint8_t start = 0x02;
    uint8_t a = start;
    int i;    
    for(i = 1;; i++) {
        int newbit = (((a >> 6) ^ (a >> 5)) & 1);
        a = ((a << 1) | newbit) & 0x7f;
        printf("%x\n", a);
        if (a == start) {
            printf("repetition period is %d\n", i);
            break;
        }
    }
}

此例中，PRBS-7的週期為127位元。

參考資料

^ Paul H. Bardell, William H. McAnney, and Jacob Savir, "Built-In Test for VLSI: Pseudorandom Techniques", John Wiley & Sons, New York, 1987.

外部連結

https://web.archive.org/web/20131111050840/http://www.scriptwell.net/correlation.htm

[1] Paul H. Bardell, William H. McAnney, and Jacob Savir, "Built-In Test for VLSI: Pseudorandom Techniques", John Wiley & Sons, New York, 1987.

[1]

偽亂數二進位數列

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