反對稱矩陣
在線性代數中,反對稱矩陣(或稱斜對稱矩陣)指轉置矩陣和自身的加法逆元相等的方形矩陣。其滿足:
- AT = − A
或寫作,各元素的關係為:
例如,下例為一個斜對稱矩陣:
在非偶数域中,斜對稱矩陣中的主對角線元素皆為0。
例子
特性
行列式
若 是 的斜對稱矩陣,其行列式滿足
- 。
- 若 是奇數,行列式等於零。這個結果叫雅可比定理。
- 若 是偶數,行列式可以寫成部分元素的多項式的平方: 。
這個多項式 叫 的普法夫行列式。任意實斜對稱矩陣的行列式是非負數。
譜理論
斜對稱矩陣的特征根永遠以成對的形式(±λ)出現,因此一個實數斜對稱矩陣的非零特征根為純虛數將會如下:iλ1, −iλ1, iλ2, −iλ2, …,其中 λk 是實數。
实斜对称矩阵是正规矩阵(它们与伴随矩阵可交换),因此满足谱定理的条件,它说明任何实斜对称矩阵都可以用一个酉矩阵对角化。由于实斜对称矩阵的特征值是复数,因此无法用实矩阵来对角化。然而,通过正交变换,可以把每一个斜对称矩阵化为方块对角线的形式。特别地,每一个2n × 2n的实斜对称矩阵都可以写成A = Q Σ QT的形式,其中Q是正交矩阵,且:
对于实数λk。这个矩阵的非零特征值是±iλk。在奇数维的情况中,Σ总是至少有一个行和一个列全是零。
无穷小旋转
斜对称矩阵形成了正交群O(n)在单位矩阵的切空间。在某种意义上,斜对称矩阵可以视为无穷小旋转。
另外一种说法是,斜对称矩阵的空间形成了李群O(n)的李代数o(n)。这个空间上的李括号由交换子给出:
很容易验证,两个斜对称矩阵的交换子也是斜对称的。
李代数的指数映射的像总是位于含有单位元的李群的连通分支内。在李群O(n)的情况中,这个连通分支是特殊正交群SO(n),由所有行列式为1的正交矩阵组成。因此R = exp(A)的行列式为+1。于是,每一个行列式为1的正交矩阵都可以写成某个斜对称矩阵的指数。
參見
参考文献
- Eves, Howard. Elementary Matrix Theory. Dover Publications. 1980. ISBN 978-0-486-63946-8.