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環圖

在抽象代數子領域群論中，群的環圖展示了一個群的各種循環，并在小有限群的可視化中特別有用。對少於 16 個元素的群，環圖確定了群（在同構的意義下）。

環是給定群元素 a 的冪的集合；這里的 an 是元素 a 的 n 次冪，被定義為 a 乘以自身 n 次的乘積。稱元素 a 生成了這個環。在有限群中，某個 a 的冪必定是單位元 e；最小的這種冪是環的階，即其中的不同元素的數目。在環圖中，環被表示為一系列的多邊形，頂點表示群元素，而連線指示在這個多邊形中所有元素都是同一個環的成員。

環

環可以交疊，或者它們除了單位元之外沒有公共元素。環圖把有價值的環顯示為多邊形。

如果 a 生成 6 階環(或簡稱是 6 階的)，則 a6 = e。那么 a² 的冪的集合 {a², a4, e} 是也一個環，但這實際上沒有什么新信息。類似的，a5 生成的環和 a 自身生成的環一樣。

所以我們只需要考慮基本的環，即不是其他環的子集的環。它們都生成自某個基本元素 a。給最初群的每個元素一個頂點。對于每個基本元素，連接 e 到 a, a 到 a², ... an-1 到 an, ... 直到回到 e。結果是環圖。

(技術上說，上述描述蘊含了如果 a² = e，a 是 2 階的(對合)，它與 e 連接了兩條邊。習慣上只用一個邊。)

性質

作為群的環圖的一個例子，考慮二面體群 Dih4。下面左邊是這個群的乘法表，右邊是環圖，其中 e 指示單位元。

 
二面體群 Dih4 的環圖。
o e b a a2 a3 ab a2b a3b
e e b a a2 a3 ab a2b a3b
b b e a3b a2b ab a3 a2 a
a a ab a2 a3 e a2b a3b b
a2 a2 a2b a3 e a a3b b ab
a3 a3 a3b e a a2 b ab a2b
ab ab a b a3b a2b e a3 a2
a2b a2b a2 ab b a3b a e a3
a3b a3b a3 a2b ab b a2 a e

注意環 e, a, a², a³。它可以從乘法表中 a 的連續的冪在事實上表現如此中看出來。反轉情況也為真，換句話說: (a³)²=a², (a³)³=a 而 (a³)4=e 。這種表現對於任何群眾任何環都為真 - 環可以按任何方向游歷。

 
四元群 Q8 的環圖。

包含非素數個元素的環將隱含擁有在圖中不連接出來的環。對於上面的群 Dih4，我們可能想要在 a² 和 e 之間連線；因為 (a²)²=e；但是因為 a² 是一個更大環的一部分，我們不這么做。

在兩個環共享非單位元的元素的時候可能有歧義。比如考慮簡單的四元群，它的環圖展示在右側。在中間行中每個元素在乘以自身的時候都得到 -1 (這里的單位元是 1)。在這種情況下我們可以使用不同顏色追蹤各個環，并且還采用對稱性處理。

如上所述，兩元素的環應該用兩條線連接，通常會縮略為一條線。

兩個不同的群可以有同樣結構的環圖，并只能通過乘積表，或依據群的基本元素標記圖中元素來區分。這個問題可能出現的最低階是下面展示的 16 階的群 Z2 x Z8 和模群的情況。(注意 - 在這些圖中有公共元素的環通過對稱性來區分。)

 
16 階群 Z2 x Z8 的環圖。
 
16 階模群的環圖。

Z2 x Z8 的乘法表如下:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1
3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14 1 0
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3
5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5
7 6 9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4
8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7
9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6
10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6 9 8
12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10
14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
15 14 1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12

從環圖中可得出的其他信息

  • 元素的逆元可以在環圖中識別出來。它是在相反的方向上有相同距離的元素。

特定群家族的圖特征

特定類型的群有典型的圖:

  • 循環群 Zn 簡單的是一個單一的 n 邊形環，每個元素都是一個頂點。
 
 
 
 
 
 
 
 
Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8
  • 在 n 是素數的時候，形如 (Zn)m 的群將有 (nm-1)/(n-1) 個 n 元素環共享單位元。
 
 
 
 
Z2² Z2³ Z24 Z3²
  • 二面體群 Dihn 由一個 n 元素環和 n 個 2 元素環構成。
 
 
 
 
 
 
 
Dih1 Dih2 Dih3 Dih4 Dih5 Dih6 Dih7
  • n次对称群，對於任何 n 階的群，n 次對稱群 Sn 都包含一個同構于這個群的子群。因此所有 n 階的群的環圖都是 Sn 的環圖的子圖。

參見

外部連結

引用

  • Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, 1993.
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