真因數和

真因數和，又稱真因子和，在數論中，一個正整數的所有真因數之和，即除了自己本身外的所有正因數之和，通常以 $s(n)$ 來表示：

s(n)=\sum _{d|n,\ d\neq n}d.

真因數和可以用來描述質數、完全数、相親數鏈、亏数、过剩数和不可及数，也可以用於定義整數的真因數和數列。

真因數和函數 $s(n)$ 與1次除數函數 $\sigma _{1}(n)$ 的關係僅差 $n$ ：^[1]

s(n)=\sigma _{1}(n)-n

例子

以12為例，12的真因數（即除了自己本身外的所有正因數）有1、2、3、4和6，則其真因數和為 ${{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}=16$

下面數列呈現前幾個整數的真因數和 $s(n),n=1,2,3,...$ ^[1]

0、 1、 1、 3、 1、 6、 1、 7、 4、 8、 1、 16、 1、 10、 9、 15、 1、 21、 1、 22、 11、 14、 1、 36、 6、 16、 13、 28、 1、 42、 1、 31、 15、 20、 13、 55、 1、 22、 17、 50、 1、 54、 1、 40、 33、 26、 1、 76、 8、 43、 21 …… （OEIS數列A001065）

數字類別的性質

真因數和函數可以用來區分幾個特別的數字類別：

1是唯一一個真因數和為0的正整數。
如果一個正整數真因數和為1則代表該數是一個質數^[2]。
完全数的真因數和等於本身、亏数的真因數和小於本身、过剩数的真因數和大於本身^[2]。准完全数（如果存在的話）真因數和為n+1。殆完全數（目前已知僅有2的冪）真因數和為n-1。
不可及数是指不是任何數之真因數和的數。相關研究至少可以追溯到大約公元1000年伊本·塔希爾·巴格達迪（英语：Abu Mansur al-Baghdadi）的研究，其發現2和5都是不可及數^[2]^[3]。埃尔德什·帕尔證明有無限多個不可及數^[4]。目前尚未確定5是否為唯一的奇數不可及數，但可以從哥德巴赫猜想的一種形式與半素数pq的真因數和為p+q+1的觀察得出^[2]。

數學家保羅·波拉克（Paul Pollack）和卡爾·帕梅朗斯指出，埃尔德什·帕尔「最喜歡的研究項目」是真因數和。^[2]

疊代

疊代真因數和函數可以產生非負整數的真因數和數列 $n, s (n), s (s (n)), ...$ （在這個數列中，我們定義 $s (0) = 0$ ）。

相親數鏈的真因數和數列為週期數列（英语：Periodic sequence），相親數是週期為2的相親數鏈。

目前尚不清楚這些數列是否總是以質數、完全数或周期性的相亲数链為結尾。^[5]

參見

除數函數：一數之正因數的 $x$ 次方和
紀堯姆·德奧貝里夫（英语：William of Auberive）：中世紀的命理學家，對真因數和感興趣

參考文獻

^ ^1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. (编). Restricted Divisor Function. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 Pollack, Paul; Pomerance, Carl, Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function, Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 2016, 3: 1–26, MR 3481968, doi:10.1090/btran/10
^ Sesiano, J., Two problems of number theory in Islamic times, Archive for History of Exact Sciences, 1991, 41 (3): 235–238, JSTOR 41133889, MR 1107382, doi:10.1007/BF00348408
^ Erdős, P., Über die Zahlen der Form $\sigma (n)-n$ und $n-\phi (n)$ (PDF), Elemente der Mathematik, 1973, 28: 83–86 [2022-09-22], MR 0337733, （原始内容存档 (PDF)于2022-08-05）
^ Weisstein, Eric W. (编). Catalan's Aliquot Sequence Conjecture. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

外部連結

埃里克·韦斯坦因. Restricted Divisor Function. MathWorld.

[mathworld-2] 1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. (编). Restricted Divisor Function. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[pp-3] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 ^2.4 Pollack, Paul; Pomerance, Carl, Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function, Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 2016, 3: 1–26, MR 3481968, doi:10.1090/btran/10

[s-4] Sesiano, J., Two problems of number theory in Islamic times, Archive for History of Exact Sciences, 1991, 41 (3): 235–238, JSTOR 41133889, MR 1107382, doi:10.1007/BF00348408

[e-5] Erdős, P., Über die Zahlen der Form $\sigma (n)-n$ und $n-\phi (n)$ (PDF), Elemente der Mathematik, 1973, 28: 83–86 [2022-09-22], MR 0337733, （原始内容存档 (PDF)于2022-08-05）

[6] Weisstein, Eric W. (编). Catalan's Aliquot Sequence Conjecture. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]