定理內容
設 X 和 Y 為兩個巴拿赫空間。假設 F 為由 X 映向 Y 的若干個連續線性算子的集合。若對於 X 中的任意一個 x ,都有
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則
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證明
由於 X 完備,利用贝尔纲定理可以得到以下簡短的證明。
假定對於 X 中的任意一個 x, 都有
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對任意整數 記
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則 為閉集,且由假設有
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貝爾綱定理適用於非空的完备空间 X, 故存在 m 使得 的內部非空,即存在 和 ε > 0 使得
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設 u ∈ X 滿足 ǁuǁ ≤ 1 和 T ∈ F, 則有:
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使 u 歷遍 X 的單位球,並取遍 得到
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因此定理成立。
也有無需貝爾綱定理的簡單證明,例如 (Sokal 2011).
推論
該定理可以推出:若一列有界算子 (Tn) 逐點收斂,即對 X 的任意元素 x, 序列 (Tn(x)) 都收斂,則該列有界算子的逐點極限定義了另一個有界算子 T.
注意上述推論並未斷言 Tn 在算子範數的意義下收斂到 T, 即:在有界集上一致收斂。然而,由於 (Tn) 在算子範數意義下有界,且其極限算子為一個連續算子 T, 可以利用標準的 "3-ε" 技巧證明,在任意緊集上,均有 Tn 一致收斂到 T.
另一推論為:賦範空間 Y 的弱有界子集 S 必然有界。
理由是,可以將 S 看成巴拿赫空間 X = Y* (Y的連續對偶)上逐點有界的一族連續線性算子。由一致有界性原理,S 的元素(視為 X 的線性泛函)的算子範數(即雙對偶 Y** 上的範數)有界,但由哈恩-巴拿赫定理可知,S 的任意元素 s 在雙對偶空間的範數,等於其於原空間 Y 的範數。
記 L(X, Y) 為自 X 映向 Y 的連續線性算子空間(賦以算子範數)。若族 F 為 L(X, Y) 的無界子集,則由一致有界性原理,有:
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更甚者,R 在 X 中稠密。原因是,R 在 X 中的補集是 ∪Xn, 故為閉集 Xn 的可數並。按照定理的證明過程,每個 Xn 都无处稠密,故 ∪Xn 為第一綱集。所以 R 是貝爾空間中一個第一綱集的補集。根據貝爾空間的定義,這樣的集(稱為剩餘集)是稠密的。如此推理可得奇點凝聚原理,即:
若 X 為巴拿赫空間,{Yn} 為一系列賦範空間,Fn 為 L(X, Yn) 的無界子集,則集合
為第二綱集,因此在 X 中稠密。
原因是,R 的補集可以寫成第一綱集的可數並
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因此其剩餘集 R 稠密。
例子:傅立葉級數的逐點收斂
設 為單位圓, 為 上連續函數在一致範數意義下組成的巴拿赫空間。由一致有界性原理,可以證明 中有一個元素,其傅立葉級數不逐點收斂。
對 其傅立葉級數定義為
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而級數的第 N 階對稱部分和為
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其中 DN 為第 N 階狄利克雷核。選定 然後考慮序列 (SN(f)(x)) 的收斂性。以下式定義泛函 :
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則 φN,x 有界。而 φN,x 於 的對偶空間的範數,是帶號測度 (2π)−1DN(x−t) dt 的範數,故
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可以驗證
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故族 {φN,x} 是 ( 的對偶)的無界子集。因此,由一致有界性原理可知,對任意 傅立葉級數於 x 發散的連續函數在 中稠密。
也可運用奇點凝聚原理來得出更強的結論。設 (xm) 為 中的稠密序列。如上定義 φN,xm. 則由奇點凝聚原理,傅立葉級數於每一個 xm 都發散的連續函數在 中稠密。(然而要注意,根據卡爾松定理,一個連續函數 f 的傅立葉級數,幾乎於每一點 都收斂到 f(x).
推廣
受最少限制,而類似結論仍然適用的空間,是桶型空間。其上的一致有界性原理為(Bourbaki 1987,Theorem III.2.1):
若把 X 換成一個貝爾空間而保持 Y 為局部凸的,則結論同樣成立。(Shtern 2001) harv error: no target: CITEREFShtern2001 (help)
Dieudonné (1970) 證明了 Fréchet 空間上一個較弱的結論:
若 X 為 Fréchet 空間, Y 為賦範空間,H 為由 X 映向 Y 的若干連續線性算子組成的集合,其滿足對 X 中的任意元素 x,
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則族 H 等度連續。
參見
參考文獻
- Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo, Sur le principe de la condensation de singularités (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1927, 9: 50–61 [2018-12-01], (原始内容存档 (PDF)于2019-05-01) . (法文)
- Bourbaki, Nicolas, Topological vector spaces, Elements of mathematics, Springer, 1987, ISBN 978-3-540-42338-6
- Dieudonné, Jean, Treatise on analysis, Volume 2, Academic Press, 1970 .
- Rudin, Walter, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1966 .
- Shtern, A.I., b/b015200, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
- Sokal, Alan, A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem, Amer. Math. Monthly, 2011, 118: 450–452, arXiv:1005.1585 , doi:10.4169/amer.math.monthly.118.05.450 .