德林斐特量子對(Drinfeld quantum double、Drinfeld double或quantum double)是數學家德林斐特於1986年柏克萊國際數學家大會上提出的一種代數結構,由有限維霍普夫代數
以及其對偶
製作出新的霍普夫代數,還自動包含半三角結構。量子對是量子群理論中極重要的建構。
在向量空間的層次上,量子對同構於張量積
,這個代數結構相當複雜。設
為域
上的有限維霍普夫代數,假定
可逆,並設
為
與
的自然配對。下列性質確定了量子對上唯一的霍普夫代數結構:
- 自然映射
與
是霍普夫代數的同構。
![{\displaystyle \forall a\in A,b\in A^{*},\;(a\otimes 1)\cdot (1\otimes b)=a\otimes b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6bab1d3b543c9adc91dc2c242ebb6880d9bf7ad)
- 承上,
![{\displaystyle (1\otimes b)\cdot (a\otimes 1)=\sum _{(a),(b)}\phi (S^{-1}(a_{(1)}),b_{(1)})\phi (a_{(3)},b_{(3)})a_{(2)}\otimes b_{(2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8c39547c747c73cce9340d89866a635ecc0d34)
任取一組基
及其對偶基
。元素
![{\displaystyle R:=\sum _{i}(1\otimes a_{i})\cdot (b_{i}\otimes 1)\in {\mathcal {D}}_{\phi }(A,A^{*})^{\otimes 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef69ffa51fbee0f425b5e5898a78b7b9006a204)
與基的選取無關,並滿足
可逆。
![{\displaystyle R\cdot \Delta (-,-)=\Delta ^{\mathrm {op} }(-,-)\cdot R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397178fc05e23ae05e868459e53fdd4aa881af57)
![{\displaystyle \Delta \otimes \mathrm {id} =R_{13}R_{23}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4464415d119d03e5cd3bfd42dc6a76d77ea225d2)
![{\displaystyle \mathrm {id} \otimes \Delta =R_{13}R_{12}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8588a07e40e54bd4bda8a3581c6459b83fadfe11)
是故
給出了
上的半三角結構。通常將此量子對記為
。
參考資料
- C. Kassel, M. Rosso, V. Turaev, Quantum groups and knot invariants, Panoramas et Syntheses, no. 5 (1997), Société Mathématique de France, ISBN 2-85629-055-8.
- Vyjayanthi Chari, Andrew Pressley (1994) : A Guide to Quantum Groups, ISBN 0521558840