德林斐特量子对

德林斐特量子对（Drinfeld quantum double、Drinfeld double或quantum double）是数学家德林斐特于1986年柏克莱国际数学家大会上提出的一种代数结构，由有限维霍普夫代数 $A$ 以及其对偶 $A^{*}$制作出新的霍普夫代数，还自动包含半三角结构。量子对是量子群理论中极重要的建构。

在向量空间的层次上，量子对同构于张量积 $A\otimes A^{*}$，这个代数结构相当复杂。设 $(A,S)$ 为域 $k$ 上的有限维霍普夫代数，假定 $S$ 可逆，并设 $\phi (,):A\otimes A^{*}\to k$ 为 $A$ 与 $A^{*}$ 的自然配对。下列性质确定了量子对上唯一的霍普夫代数结构：

• 自然映射 $A\to A\otimes 1\subset A\otimes A^{*}$ 与 $A^{*}\to 1\otimes A^{*}\subset A\otimes A^{*}$ 是霍普夫代数的同构。
• $\forall a\in A,b\in A^{*},\;(a\otimes 1)\cdot (1\otimes b)=a\otimes b$
• 承上，$(1\otimes b)\cdot (a\otimes 1)=\sum _{(a),(b)}\phi (S^{-1}(a_{(1)}),b_{(1)})\phi (a_{(3)},b_{(3)})a_{(2)}\otimes b_{(2)}$

任取一组基 $a_{i}\in A$ 及其对偶基 $b_{i}\in A^{*}$。元素

$R:=\sum _{i}(1\otimes a_{i})\cdot (b_{i}\otimes 1)\in {\mathcal {D}}_{\phi }(A,A^{*})^{\otimes 2}$

与基的选取无关，并满足

• $R$ 可逆。
• $R\cdot \Delta (-,-)=\Delta ^{\mathrm {op} }(-,-)\cdot R$
• $\Delta \otimes \mathrm {id} =R_{13}R_{23}$
• $\mathrm {id} \otimes \Delta =R_{13}R_{12}$

是故 $R$ 给出了 $A\otimes A^{*}$ 上的半三角结构。通常将此量子对记为 ${\mathcal {D}}_{\phi }(A,A^{*})$。

参考资料

• C. Kassel, M. Rosso, V. Turaev, Quantum groups and knot invariants, Panoramas et Syntheses, no. 5 (1997), Société Mathématique de France, ISBN 2-85629-055-8.
• Vyjayanthi Chari, Andrew Pressley (1994) : A Guide to Quantum Groups, ISBN 0521558840