拉克斯-米爾格拉姆定理

拉克斯－米爾格拉姆定理是數學泛函分析的定理，以彼得·拉克斯和阿瑟·米爾格拉姆命名。這定理可用來藉弱形式求解偏微分方程，因此主要用作有限元法的理論基礎。

敘述

設

${\mathcal {H}}$ 是實希爾伯特空間，其內積記作 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ，導出範數 $\|\cdot \|$ ，
$a(\cdot ,\cdot )$ 是雙線性型，使得

在 ${\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}$ 上連續：

\exists \,c>0,\forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|

，

在 ${\mathcal {H}}$ 上強制（有稱為 ${\mathcal {H}}$ －橢圓性)：

\exists \,\alpha >0,\forall u\in {\mathcal {H}}\,,\ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}

，

$L$ 是 ${\mathcal {H}}$ 上的連續線性型。

那麼存在唯一的 $u\in {\mathcal {H}}$ ，使得對所有 $v\in {\mathcal {H}}$ 都有 $a(u,v)=Lv$ ：

(1)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ \forall v\in {\mathcal {H}},\quad a(u,v)=Lv

。

而且如果 $a$ 是對稱的，那麼 $u$ 是 ${\mathcal {H}}$ 中唯一的元素，使得以下泛函取最小值 $J:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R}$ ， $J(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-Lv$ 對所有 $v\in {\mathcal {H}}$ ，即：

(2)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\quad J(u)=\min _{v\in {\mathcal {H}}}\ J(v)

。

證明

一般情形

套用里斯表示定理到連續線性型上，可知存在唯一的 $f\in {\mathcal {H}}$ ，使得 $Lv=\langle f,v\rangle$ 對任意 $v\in {\mathcal {H}}$ 成立。

對所有 $u\in {\mathcal {H}}$ ，映射 $v\mapsto a(u,v)$ 是 ${\mathcal {H}}$ 上連續線性型，因此同樣可知存在唯一的 $A_{u}\in {\mathcal {H}}$ ，使得 $a(u,v)=\langle A_{u},v\rangle$ 對任意 $v\in {\mathcal {H}}$ 成立。易知算子 $A:u\mapsto A_{u}$ 是一個 ${\mathcal {H}}$ 上連續線性自同態。由此可把 $(1)$ 表示成如下等價形式：

\exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ Au=f

要證明此命題，只要證得 $A$ 是從 ${\mathcal {H}}$ 到 ${\mathcal {H}}$ 的雙射。首先證明它是單射，再證它是滿射。

從 $a$ 的強制性，使用柯西－施瓦茨不等式，得到對任何 $v\in {\mathcal {H}}$

\alpha \|v\|^{2}\leq a(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|

從而知對任何 $v\in {\mathcal {H}}$

\|Av\|\geq \alpha \|v\|

(*)。

這證明了 $A$ 是單射。

要證明滿射，考慮算子 $A$ 在 ${\mathcal {H}}$ 內的像 ${\mathcal {Z}}$ 。

不等式(*)表示，如 $Au_{n}$ 是柯西序列，那麼 $u_{n}$ 是 ${\mathcal {H}}$ 內的柯西序列。由 ${\mathcal {H}}$ 的完備性， $u_{n}$ 收斂至 $u\in {\mathcal {H}}$ 。因 $A$ 連續，得出 $Au_{n}$ 收斂至 $Au$ 。