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拉格朗日定理 (群论)

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拉格朗日定理是群论中一个重要的结果，描述了一个群和它的子群的元素个数之间的关系。这个定理对有限群的结构给出了很多线索。

定理陈述

拉格朗日定理[1] — 如果   是群   的子群[注 1]，那么   而如果   是有限群，那么这个定理可以简化成——   是   的约数。

证明思路

定理的证明利用了陪集的以下性质：

  1. 一个子群的所有陪集在集合意义下有相同的大小[注 2]（ Cardinality ）[2]。
  2. 一个子群的所有陪集分割[注 3]了整个群[3]。
  3. 根据集合的特性，   的大小可以写成是陪集的大小（   ）乘上[注 4]陪集的数量（   ）。

推论

  1. 由拉格朗日定理可立即得到——有限群   中每个元素的阶（ Order ）都会整除群   的阶（考虑由这个元素生成的循环群）。
  2. 如果   是素数，那么   同构于素数阶的循环群   （因为素数没有   和自身以外的约数）[4]。
  3. 费马小定理是拉格朗日定理的一个简单推论[5]。

逆命题

拉格朗日定理的逆命题并一般来说不成立。   的约数可能不是任何子群的阶。例如交错群   的阶是   ，但它没有任何阶是   子群[6]。然而柯西定理以及它的推广——西罗定理——则表明：具有特定形式的约数确实是某个子群的阶；而如果   是可解群的话，则西罗定理还可以进一步推广成霍尔定理（英语：Hall subgroup#Hall's theorem）。

参见

注解

  1. ^ 没有假设是有限群
  2. ^ 或称——势
  3. ^ 意思是每个群元素都位在刚好一个（ exactly one ）陪集之中
  4. ^ cardinality 意义下的乘法。在有限的情况下就和是普通意义的整数乘法

引用

  1. ^ Hungerford 1974，第39页，Corollary 4.6.
  2. ^ Hungerford 1974，第38页，Theorem 4.2.
  3. ^ Hungerford 1974，第38页，Corollary 4.3.
  4. ^ Gallian 2012，第149页，Corollary 3.
  5. ^ Gallian 2012，第149页，Corollary 5.
  6. ^ Gallian 2012，第149页，Example 5.

参考文献

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