拓扑学家正弦曲线
具有特別性質的拓樸空間
拓扑学中，拓扑学家正弦曲线或华沙正弦曲线是一个拓扑空间，具有一些有趣的特性，使其成为教科书中的一个重要例子。
它可以定义为函数sin(1/x)在半开区间(0, 1]上连通原点在欧氏平面拓扑下的函数图形：
![{\displaystyle T=\left\{\left(x,\sin {\tfrac {1}{x}}\right):x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4221bd712b70257f7e0f8d9b1ca74eaff5661c)
性质
拓扑学家正弦曲线T是连通的，但不是局部连通也不是路径连通。这是因为它包含原点，但却无法将函数与原点连接为路径。
空间T是局部紧空间的连续像（即设V为空间{−1} ∪ (0, 1]，并使用由f(−1) = (0,0)、f(x) = (x, sin(1/x))（x > 0）定义的映射 ），而T本身不是局部紧的。
T的拓扑维数为1。
变体
拓扑学家正弦曲线有2种有趣的变体，具有其它有趣的性质。
闭拓扑学家正弦曲线可通过拓扑学家正弦曲线添加极限点集 得到。有文献将拓扑学家正弦曲线本身定义为这个版本，因为他们更喜欢用“闭拓扑学家正弦曲线”指另一条曲线。[1]据海涅-博雷尔定理，这是闭有界紧空间，但与拓扑学家正弦曲线有相似的性质：它也是连通的，但既不是局部连通，也不是路径连通。
![{\displaystyle \{(0,y)\mid y\in [-1,1]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dff9ac5c2a53868d76f8bf3f7a7a841876b3ca0)
![{\displaystyle \{(x,1)\mid x\in [0,1]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5327e8b84efd6909fc334b522974b34963cd7e8f)
另见
参考文献
- ^ Munkres, James R. Topology; a First Course. Englewood Cliffs. 1979: 158. ISBN 9780139254956.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Mineola, NY: Dover Publications, Inc.: 137–138, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 1382863
- 埃里克·韦斯坦因. Topologist's Sine Curve. MathWorld.