拓撲學家正弦曲線

具有特別性質的拓樸空間

拓撲學中,拓撲學家正弦曲線華沙正弦曲線是一個拓撲空間,具有一些有趣的特性,使其成為教科書中的一個重要例子。

隨著x從右邊接近0,1/x的變化率就增大。這就是正弦波的頻率隨著圖形向左移動而增加的原因。

它可以定義為函數sin(1/x)在半開區間(0, 1]上連通原點在歐氏平面拓撲下的函數圖形

性質

拓撲學家正弦曲線T連通的,但不是局部連通也不是路徑連通。這是因為它包含原點,但卻無法將函數與原點連接為路徑

空間T局部緊空間的連續像(即設V為空間{−1} ∪ (0, 1],並使用由f(−1) = (0,0)、f(x) = (x, sin(1/x))x > 0)定義的映射 ),而T本身不是局部緊的。

T拓撲維數為1。

變體

拓撲學家正弦曲線有2種有趣的變體,具有其它有趣的性質。

閉拓撲學家正弦曲線可通過拓撲學家正弦曲線添加極限點 得到。有文獻將拓撲學家正弦曲線本身定義為這個版本,因為他們更喜歡用「閉拓撲學家正弦曲線」指另一條曲線。[1]海涅-博雷爾定理,這是閉有界緊空間,但與拓撲學家正弦曲線有相似的性質:它也是連通的,但既不是局部連通,也不是路徑連通。

推廣拓撲學家正弦曲線的定義是:將閉拓撲學家正弦曲線加入集合 。它是弧連通的,但不是局部連通的

另見

參考文獻

  1. ^ Munkres, James R. Topology; a First Course. Englewood Cliffs. 1979: 158. ISBN 9780139254956.