拓撲學家正弦曲線
具有特別性質的拓樸空間
拓撲學中，拓撲學家正弦曲線或華沙正弦曲線是一個拓撲空間，具有一些有趣的特性，使其成為教科書中的一個重要例子。
它可以定義為函數sin(1/x)在半開區間(0, 1]上連通原點在歐氏平面拓撲下的函數圖形：
![{\displaystyle T=\left\{\left(x,\sin {\tfrac {1}{x}}\right):x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4221bd712b70257f7e0f8d9b1ca74eaff5661c)
性質
拓撲學家正弦曲線T是連通的，但不是局部連通也不是路徑連通。這是因為它包含原點，但卻無法將函數與原點連接為路徑。
空間T是局部緊空間的連續像（即設V為空間{−1} ∪ (0, 1]，並使用由f(−1) = (0,0)、f(x) = (x, sin(1/x))（x > 0）定義的映射 ），而T本身不是局部緊的。
T的拓撲維數為1。
變體
拓撲學家正弦曲線有2種有趣的變體，具有其它有趣的性質。
閉拓撲學家正弦曲線可通過拓撲學家正弦曲線添加極限點集 得到。有文獻將拓撲學家正弦曲線本身定義為這個版本，因為他們更喜歡用「閉拓撲學家正弦曲線」指另一條曲線。[1]據海涅-博雷爾定理，這是閉有界緊空間，但與拓撲學家正弦曲線有相似的性質：它也是連通的，但既不是局部連通，也不是路徑連通。
![{\displaystyle \{(0,y)\mid y\in [-1,1]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dff9ac5c2a53868d76f8bf3f7a7a841876b3ca0)
![{\displaystyle \{(x,1)\mid x\in [0,1]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5327e8b84efd6909fc334b522974b34963cd7e8f)
另見
參考文獻
- ^ Munkres, James R. Topology; a First Course. Englewood Cliffs. 1979: 158. ISBN 9780139254956.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Mineola, NY: Dover Publications, Inc.: 137–138, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 1382863
- 埃里克·韋斯坦因. Topologist's Sine Curve. MathWorld.