維塔利覆蓋引理

數學上，維塔利(Vitali)覆蓋引理是一個組合幾何的結果，用於實分析中。這引理說給出一族球，可以從中找到一族互不相交的球，將這些球半徑增加一定倍後，就能把其他的球都覆蓋住。

引理敘述

有限多球

在一個度量空間中有一族閉球$B_{1},\ldots ,B_{n}$，則這一族球中存在互不相交的球$B_{i_{1}},\ldots ,B_{i_{m}}$，適合條件

$B_{1}\cup \ldots \cup B_{n}\subset 3B_{i_{1}}\cup \ldots \cup 3B_{i_{m}}$

$3B_{i_{k}}$表示和$B_{i_{k}}$有相同中心，而半徑是$B_{i_{k}}$的三倍的球。

無限多球

在一個度量空間中有一族半徑為正數的閉球$\{B_{i}:i\in I\}$，這族球的半徑有有限的上界，即

$\sup _{I}\mathrm {rad} (B_{i})<\infty$

則這一族球中存在互不相交的球$\{B_{i}:i\in I'\}$，$I'\subset I$，適合條件

$\bigcup _{i\in I}B_{i}\subset \bigcup _{i\in I'}5B_{i}$

$5B_{i}$表示和$B_{i}$有相同中心，而半徑是$B_{i}$的五倍的球。

證明

有限情形

取這一族球中半徑最大的一個球$B_{i_{1}}$，然後除去所有與$B_{i_{1}}$相交的球。再從剩下的球中取半徑最大的為$B_{i_{2}}$，如此類推。那麼任何其他的球必定因為和某個$B_{i_{k}}$相交而被除去，這個球的半徑不大於$B_{i_{k}}$，因此包含在$3B_{i_{k}}$之內。

無限情形

設這一族球的半徑的上確界為R。將這一族按半徑分成子集${\mathcal {F}}_{j}$，j為正整數；${\mathcal {F}}_{j}$包含半徑在區間$(R/2^{j},R/2^{j-1}]$的球。依次取${\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2},\cdots$如下：

1. 設${\mathcal {F}}'_{1}={\mathcal {F}}_{1}$。取${\mathcal {G}}_{1}$為${\mathcal {F}}'_{1}$內互不相交球的子集之中的極大者，即其他在${\mathcal {F}}'_{1}$中的球都與這一子集中某個球相交。從佐恩引理知這樣的${\mathcal {G}}_{1}$存在，以下同。
2. 設已取${\mathcal {G}}_{1},\cdots ,{\mathcal {G}}_{k-1}$，k為某大於1的整數。設${\mathcal {F}}'_{k}$是${\mathcal {F}}_{k}$中不與${\mathcal {G}}_{1}\cup \cdots \cup {\mathcal {G}}_{k-1}$中任何球相交的全部球的子集。取${\mathcal {G}}_{k}$為${\mathcal {F}}'_{k}$內互不相交球的子集之中的極大者。

設${\mathcal {G}}=\bigcup _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{k}$。任何其他的球B必在某一個${\mathcal {F}}'_{k}$中，因此這個球與${\mathcal {G}}_{k}$中一個球$B'$相交，而$B'$的半徑大於B的半徑的二分之一，故此B包含在$5B'$之內。

討論

因為有無限多球時，可能不存在半徑最大的球，所以在構造中，每一步選擇的球的半徑，只要求接近餘下的球的半徑的上確界。而結果中的5並非最佳常數。將${\mathcal {F}}_{j}$的定義中的$2^{j},2^{j+1}$的2換成任何大於1的數c，那麼就可把結果中的5換成1+2c，即可以用任何大於3的數取代。不過由於未必有半徑最大的球，以致不能像有限多球時用3取代，以下是一個簡單例子。

例子

在平面$\mathbb {R} ^{2}$中，給出如下的一族球：對每個正整數n，$B_{n}$是半徑為$2-1/n$的閉球，若n為奇數，$B_{n}$的圓心在$(2-1/n,0)$；若n為偶數，則圓心在$(-2+1/n,0)$。所有球都包含原點(0,0)，故任意兩個球都相交，因此包含互不相交的球的子集只能有一個球。這一族球的半徑上確界是2，然而全部球的半徑都小於2。若選任何一個$B_{n}$為這個子集，因有半徑更大的球$B_{n+1}$在原點的另一側，故此$3B_{n}$不覆蓋$B_{n+1}$。

應用

這條引理用於證明哈代－李特爾伍德極大不等式。

參見

• 貝西科維奇覆蓋定理

參考

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.