貝西科維奇覆蓋定理

數學上,貝西科維奇(Besicovitch)覆蓋定理實分析的一條覆蓋定理。歐氏空間的任何一個有半徑上限的閉球族中,可以取出幾個子集,子集的球互不相交,且覆蓋原來閉球族中所有球的中心,而子集的數目上限只取決於空間的維數

定理敘述

  中的非退化(半徑為正數)族,當中的球的半徑有有限上界,即

 

A為當中的球的中心組成的集合。那麼 中存在子集 ,每個 可數多個互不相交的球的集合,而且

 

其中 是一個僅依賴於n的常數。

證明大概

先假設A有界集合。依次選取球 

  1. 選擇  ,適合條件 
  2. 若已選取  。令 。若 ,就停止;若否,選擇  ,適合條件 

 有以下性質

  1.  的選取方法可知,若j > i,則  
  2. 將全部球 的半徑縮至三分之一,從以上不等式,可證這些縮小的球 互不相交。
  3. 若有可數無限多球 ,因A有界,及縮小的球不交的性質,所以球 的半徑趨向0。
  4.  。若 數目有限,則結果明顯;若數目是無限多,假如有 ,那麼 中有球 ,而從上一性質知,對足夠大的j,有 ,與 的選取條件矛盾。

k > 1,估算 和多少個之前選擇的球 相交。先將這樣的 按半徑 分成兩組: 為第一組, 為第二組。

對第一組的球 ,將其縮小成 後包含在 中。 之間互不相交,故總體積不超過 的體積。又因 ,因此 相對 的比例有一個下限,而這下限僅由維數n決定。所以第一組的球的數目有一個僅依賴於n的上限。

對第二組的球,任取其中兩個球 , 。考慮以 , , 作頂點的三角形。因 , 都和 相交,又 不在 , 之內,故有不等式

 
 

欲證出此三角形以 為頂點的角 ,不小於一常數。可以假設 邊長不大於 邊長。如果 不在 內,則 邊長大於 。若 邊長不小於 邊長,則 為三角形中最長的邊,所以 不小於 。若 邊長小於 邊長,以平面幾何可證得這情形時 不小於arccos(5/6)。如果  內,必有i < j,故 ,且 不在 內,因此 邊長大於 。可證得這情形時 不小於arccos(61/64)。取上述下限的最小者,得出 的下限為arccos(61/64)。

因此將第二組各個的球的中心和 之間連成直線,則任意兩條直線之間在 的夾角不小於arccos(61/64)。 為中心的單位球面上,這些直線中任何兩條和球面的交點,其間的球面距離,等於直線間的夾角。直線間的夾角下限,就是交點間的球面距離下限。在單位球面上所能容納的這樣的點的數目,有一個只依賴維數n的上限,這也就是第二組球的數目上限。

 和之前的球相交的數目上限,是以上兩組的上限的和,於是這個上限只依賴於維數n。這個上限加1設為 。現在從 開始依次把球放到子集 內。輪到 時,因為之前的球中最多有 個和 相交,因此在 個子集 中,必定有至少一個所包含的球都不和 相交,於是可以把 加進這個子集。這樣就得出了子集 ,滿足條件

 

對一般的A,設

 

對每個正整數l,設

 
 

將以上結果用到  上,得到子集 ,滿足條件

 

 ,設  ,並設 。那麼 的球互不相交,且有

 

因此定理得證。

參見

參考

  • Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.