维塔利覆盖引理

数学上，维塔利(Vitali)覆盖引理是一个组合几何的结果，用于实分析中。这引理说给出一族球，可以从中找到一族互不相交的球，将这些球半径增加一定倍后，就能把其他的球都覆盖住。

引理叙述

有限多球

在一个度量空间中有一族闭球$B_{1},\ldots ,B_{n}$，则这一族球中存在互不相交的球$B_{i_{1}},\ldots ,B_{i_{m}}$，适合条件

$B_{1}\cup \ldots \cup B_{n}\subset 3B_{i_{1}}\cup \ldots \cup 3B_{i_{m}}$

$3B_{i_{k}}$表示和$B_{i_{k}}$有相同中心，而半径是$B_{i_{k}}$的三倍的球。

无限多球

在一个度量空间中有一族半径为正数的闭球$\{B_{i}:i\in I\}$，这族球的半径有有限的上界，即

$\sup _{I}\mathrm {rad} (B_{i})<\infty$

则这一族球中存在互不相交的球$\{B_{i}:i\in I'\}$，$I'\subset I$，适合条件

$\bigcup _{i\in I}B_{i}\subset \bigcup _{i\in I'}5B_{i}$

$5B_{i}$表示和$B_{i}$有相同中心，而半径是$B_{i}$的五倍的球。

证明

有限情形

取这一族球中半径最大的一个球$B_{i_{1}}$，然后除去所有与$B_{i_{1}}$相交的球。再从剩下的球中取半径最大的为$B_{i_{2}}$，如此类推。那么任何其他的球必定因为和某个$B_{i_{k}}$相交而被除去，这个球的半径不大于$B_{i_{k}}$，因此包含在$3B_{i_{k}}$之内。

无限情形

设这一族球的半径的上确界为R。将这一族按半径分成子集${\mathcal {F}}_{j}$，j为正整数；${\mathcal {F}}_{j}$包含半径在区间$(R/2^{j},R/2^{j-1}]$的球。依次取${\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2},\cdots$如下：

1. 设${\mathcal {F}}'_{1}={\mathcal {F}}_{1}$。取${\mathcal {G}}_{1}$为${\mathcal {F}}'_{1}$内互不相交球的子集之中的极大者，即其他在${\mathcal {F}}'_{1}$中的球都与这一子集中某个球相交。从佐恩引理知这样的${\mathcal {G}}_{1}$存在，以下同。
2. 设已取${\mathcal {G}}_{1},\cdots ,{\mathcal {G}}_{k-1}$，k为某大于1的整数。设${\mathcal {F}}'_{k}$是${\mathcal {F}}_{k}$中不与${\mathcal {G}}_{1}\cup \cdots \cup {\mathcal {G}}_{k-1}$中任何球相交的全部球的子集。取${\mathcal {G}}_{k}$为${\mathcal {F}}'_{k}$内互不相交球的子集之中的极大者。

设${\mathcal {G}}=\bigcup _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{k}$。任何其他的球B必在某一个${\mathcal {F}}'_{k}$中，因此这个球与${\mathcal {G}}_{k}$中一个球$B'$相交，而$B'$的半径大于B的半径的二分之一，故此B包含在$5B'$之内。

讨论

因为有无限多球时，可能不存在半径最大的球，所以在构造中，每一步选择的球的半径，只要求接近余下的球的半径的上确界。而结果中的5并非最佳常数。将${\mathcal {F}}_{j}$的定义中的$2^{j},2^{j+1}$的2换成任何大于1的数c，那么就可把结果中的5换成1+2c，即可以用任何大于3的数取代。不过由于未必有半径最大的球，以致不能像有限多球时用3取代，以下是一个简单例子。

例子

在平面$\mathbb {R} ^{2}$中，给出如下的一族球：对每个正整数n，$B_{n}$是半径为$2-1/n$的闭球，若n为奇数，$B_{n}$的圆心在$(2-1/n,0)$；若n为偶数，则圆心在$(-2+1/n,0)$。所有球都包含原点(0,0)，故任意两个球都相交，因此包含互不相交的球的子集只能有一个球。这一族球的半径上确界是2，然而全部球的半径都小于2。若选任何一个$B_{n}$为这个子集，因有半径更大的球$B_{n+1}$在原点的另一侧，故此$3B_{n}$不覆盖$B_{n+1}$。

应用

这条引理用于证明哈代－李特尔伍德极大不等式。

参见

• 贝西科维奇覆盖定理

参考

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.