黎曼映射定理

數學中,黎曼映射定理複分析最深刻的定理之一,此定理分類了單連通開子集。

定理陳述

 為開圓盤, 單連通開子集。若 ,則存在一對一的全純映射 ,使 亦全純。換言之,   雙全純同構

注意到二維的全純映射不外乎保持定向的共形映射,它保持角度定向不變。

簡史

黎曼在他1851年的博士論文中陳述了這個結果,但其證明不完整。康斯坦丁·卡拉西奧多里在1912年發表了第一個完整證明。

注記

  • 黎曼映射定理乃是存在性定理,一般無法具體表示從  的全純映射。
  • 定理中對 的條件極寬鬆;舉例明之, 的邊界可能是碎形曲線,但 仍可透過共形映射映至單位圓盤,這在直觀上是很難想像的。
  • 此定理對 時即告失效:環型區域(形如 )之間的共形映射僅有反演縮放旋轉
  • 此定理在更高維度即不成立。
  • 黎曼曲面的框架下,此定理可推廣為單值化定理:單連通黎曼曲面必同構於  

證明概要

給定  ,我們希望構造一個函數 ,它把 映射到單位圓盤,把 映射到 。在這個證明概要中,我們假設 是有界的,且其邊界是光滑的,就像黎曼所做的那樣。記

 

其中 是某個(待確定的)全純函數,其實數部分為 ,虛數部分為 。於是顯然z0f的唯一一個零點。我們要求對於 的邊界上的  ,因此我們需要在邊界上有 。由於 是全純函數的實數部分,我們知道 一定是一個調和函數,也就是說,它滿足拉普拉斯方程

於是問題變為:存在某個實值調和函數 ,對所有的 都有定義,且具有給定的邊界條件嗎?狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要確立了u的存在,全純函數 柯西-黎曼方程便允許了我們求出 (這個論證依賴於 是單連通的假設)。一旦構造了  ,我們還需要驗證所得到的函數 確實滿足所有需要的性質。

文獻