黎曼映射定理
定理陈述
简史
黎曼在他1851年的博士论文中陈述了这个结果,但其证明不完整。康斯坦丁·卡拉西奥多里在1912年发表了第一个完整证明。
注记
证明概要
给定 和 ,我们希望构造一个函数 ,它把 映射到单位圆盘,把 映射到 。在这个证明概要中,我们假设 是有界的,且其边界是光滑的,就像黎曼所做的那样。记
其中 是某个(待确定的)全纯函数,其实数部分为 ,虚数部分为 。于是显然z0是f的唯一一个零点。我们要求对于 的边界上的 有 ,因此我们需要在边界上有 。由于 是全纯函数的实数部分,我们知道 一定是一个调和函数,也就是说,它满足拉普拉斯方程。
于是问题变为:存在某个实值调和函数 ,对所有的 都有定义,且具有给定的边界条件吗?狄利克雷原理提供了肯定的答案。只要确立了u的存在,全纯函数 的柯西-黎曼方程便允许了我们求出 (这个论证依赖于 是单连通的假设)。一旦构造了 和 ,我们还需要验证所得到的函数 确实满足所有需要的性质。
文献
- John B. Conway, Functions of one complex variable, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3
- John B. Conway, Functions of one complex variable II, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94460-5
- Reinhold Remmert, Classical topics in complex function theory, Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98221-3
- Bernhard Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse(页面存档备份,存于互联网档案馆), Göttingen, 1851