草稿:限制 (數學)

功能与域名没有反函数。如果我们限制到非负实数,那么它有一个反函数,称为平方根

数学中,映射限制 是一个新的映射,记作 或者 ,它是通过为原来的映射 选择一个更小的定义域 来得到的。反过来,也称映射 是映射 扩张

正式定义

  是一个集合   到集合   的映射。如果   子集,那么称满足 的映射[1]   是映射    上的限制。不正式地说,   是和   相同的映射,但只定义在   上。

如果将映射   看作一种在笛卡尔积   上的关系   ,然后    上的限制可以用它的图像来表示:

 

其中   表示图像   中的有序对

扩张

映射   称为另一映射的  扩张,当且仅当   。也就是说同时满足下面两个条件:

  1. 属于   之定义域的   必然也在   的定义域中,即  
  2.    在它们共同的定义域上的行为相同,即 

数学上经常需要将一个具有指定性质的映射的定义域扩大,并要求扩张后的结果仍具有该性质。如寻找一个线性映射   的扩张映射   ,且   仍是线性的,这时说    的一个线性扩张,或者说;寻找一个连续映射   的扩张映射   ,且   仍连续,则称为进行了连续扩张;诸如此类。

例子

  1. 非单射函数   在域  上的限制是  ,而这是一个单射。
  2. Γ函数限制在正整数集上,并将变量平移   ,就得到阶乘函数:  

限制的性质

  • 映射   在其整个定义域   上的限制即是原函数,即  
  • 对一个映射在限制两次与限制一次效果相同,只要最终的定义域一样。也就是说,若   ,则  
  • 集合   上的恒等映射在集合   上的限制即是   包含映射[2]
  • 连续函数的限制是连续的。[3] [4]

應用

反函數

若某函數存在反函數,其映射必為單射。若映射   非單射,可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如:

   

因為  ,故非單射。但若將定義域限制到   時該映射為單射,此時有反函數

   

(若限制定義域至  ,輸出   的負平方根的函數為反函數。)另外,若允許反函數為多値函數,則無需限制原函數的定義域。

粘接引理

點集拓撲學中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。

設拓撲空間   的子集   同時為開或閉,且滿足  ,設   為拓撲空間。若映射     的限制都連續,則   也是連續的。

基於此結論,粘接在拓撲空間中的開或閉集合上定義的兩個連續函數,可以得到一個新的連續函數。

將函數的限制推廣到其他物件的限制。

層論中,拓撲空間 的每個開集 ,有另一個範疇中的物件 與之對應,其中要求 滿足某些性質。最重要的性質是,若一個開集包含另一個開集,則對應的兩個物件之間有限制態射,即若 ,則有態射 ,且該些態射應仿照函數的限制,滿足下列條件:

  1.  的每個開集 ,限制態射  上的恆等態射。
  2. 若有三個開集 ,則複合 
  3. (局部性)若 為某個開集 開覆蓋,且 滿足:對所有  ,則 
  4. (黏合) 若 為某個開集 的開覆蓋,且對每個 ,給定截面 ,使得對任意兩個 ,都有 在定義域重疊部分重合(即 ),則存在截面 使得對所有  

所謂拓撲空間 上的,就是該些物件 和態射 組成的整體 。若僅滿足前兩項條件,則稱為預層

参考资料

  1. ^ Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories 2nd. San Francisco: W. H. Freeman and Company. 1974: [36]. ISBN 0-7167-0457-9. 
  2. ^ Halmos, Paul. Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. 1960.  Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
  3. ^ Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River: Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2. 
  4. ^ Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David. Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. 2008. ISBN 978-0-13-184869-6.