草稿:限制 (数学)

功能与域名没有反函数。如果我们限制到非负实数,那么它有一个反函数,称为平方根

数学中,映射限制 是一个新的映射,记作 或者 ,它是通过为原来的映射 选择一个更小的定义域 来得到的。反过来,也称映射 是映射 扩张

正式定义

  是一个集合   到集合   的映射。如果   子集,那么称满足 的映射[1]   是映射    上的限制。不正式地说,   是和   相同的映射,但只定义在   上。

如果将映射   看作一种在笛卡尔积   上的关系   ,然后    上的限制可以用它的图像来表示:

 

其中   表示图像   中的有序对

扩张

映射   称为另一映射的  扩张,当且仅当   。也就是说同时满足下面两个条件:

  1. 属于   之定义域的   必然也在   的定义域中,即  
  2.    在它们共同的定义域上的行为相同,即 

数学上经常需要将一个具有指定性质的映射的定义域扩大,并要求扩张后的结果仍具有该性质。如寻找一个线性映射   的扩张映射   ,且   仍是线性的,这时说    的一个线性扩张,或者说;寻找一个连续映射   的扩张映射   ,且   仍连续,则称为进行了连续扩张;诸如此类。

例子

  1. 非单射函数   在域  上的限制是  ,而这是一个单射。
  2. Γ函数限制在正整数集上,并将变量平移   ,就得到阶乘函数:  

限制的性质

  • 映射   在其整个定义域   上的限制即是原函数,即  
  • 对一个映射在限制两次与限制一次效果相同,只要最终的定义域一样。也就是说,若   ,则  
  • 集合   上的恒等映射在集合   上的限制即是   包含映射[2]
  • 连续函数的限制是连续的。[3] [4]

应用

反函数

若某函数存在反函数,其映射必为单射。若映射   非单射,可以限制其定义域以定义其一部分的反函数。如:

   

因为  ,故非单射。但若将定义域限制到   时该映射为单射,此时有反函数

   

(若限制定义域至  ,输出   的负平方根的函数为反函数。)另外,若允许反函数为多値函数,则无需限制原函数的定义域。

粘接引理

点集拓扑学中的粘接引理联系了函数的连续性与限制函数的连续性。

设拓扑空间   的子集   同时为开或闭,且满足  ,设   为拓扑空间。若映射     的限制都连续,则   也是连续的。

基于此结论,粘接在拓扑空间中的开或闭集合上定义的两个连续函数,可以得到一个新的连续函数。

将函数的限制推广到其他物件的限制。

层论中,拓扑空间 的每个开集 ,有另一个范畴中的物件 与之对应,其中要求 满足某些性质。最重要的性质是,若一个开集包含另一个开集,则对应的两个物件之间有限制态射,即若 ,则有态射 ,且该些态射应仿照函数的限制,满足下列条件:

  1.  的每个开集 ,限制态射  上的恒等态射。
  2. 若有三个开集 ,则复合 
  3. (局部性)若 为某个开集 开覆盖,且 满足:对所有  ,则 
  4. (黏合) 若 为某个开集 的开覆盖,且对每个 ,给定截面 ,使得对任意两个 ,都有 在定义域重叠部分重合(即 ),则存在截面 使得对所有  

所谓拓扑空间 上的,就是该些物件 和态射 组成的整体 。若仅满足前两项条件,则称为预层

参考资料

  1. ^ Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories 2nd. San Francisco: W. H. Freeman and Company. 1974: [36]. ISBN 0-7167-0457-9. 
  2. ^ Halmos, Paul. Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. 1960.  Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
  3. ^ Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River: Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2. 
  4. ^ Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David. Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. 2008. ISBN 978-0-13-184869-6.