二元运算

作用於兩個對象的運算

二元运算是种数学运算,它的运算结果跟两个输入值必须是同种东西,即元数为2的运算。比如说,两个整数的加法是二元运算,因整数相加以后仍然是整数。

定义

二元运算的定义 — 一个集合   上的二元运算是一个定义域是  对应域  函数

如果从集合   对自己的笛卡儿积 (也就是   )取出的任意   ,都会对应  的某个值   ,那对应规则   的本身就被称为二元运算。

  通常写为   ,而且比起使用字母,二元运算时常以某种运算符表示,来跟普通的函数作区别。

事实上   这个记号本身就保证了:“只要   就会有   ”,这个性质也称为(二元)运算封闭性

常用性质和术语

关于二元运算有很多常见的性质和术语,列举如下:

  是集合   上的二元运算, ,则:

  •   为一个  左幺元,若   满足: 
  •   为一个  右幺元,若   满足: 
  •   幺元,若   既是左幺元、又是右幺元。

  是集合   上带有单位元   的二元运算,   。则:

  •   是一个  左逆元,若   满足:  
  •   是一个  右逆元,若   满足:  
  •   逆元,若   既是  左逆元、又是  右逆元。这种情况下   常被写作   

  是集合   上的二元运算,   ,则:

  •   为一个左零元,若   满足:  
  •   为一个右零元,若   满足:  
  •  零元,若   既是左零元、又是右零元。

  是集合   上的带有零元素   的二元运算,    。则:

  •   是一个左零因子,若   满足:   ,使得  
  •   是一个右零因子,若   满足:   ,使得  
  •   是一个零因子,若   既是左零因子、又是右零因子。

  是集合   上的二元运算,则: 称   满足交换律,若: 

  是集合   上的二元运算,则: 称   满足结合律,若:  

 :  是集合 上的二元运算,则:

 满足左消去律,若 满足: 

 满足右消去律,若 满足: 

 满足消去律,若 同时满足左消去律与右消去律。

 :  是集合 上的二元运算,则: 称 满足幂等律,若 满足: 

幂幺律

 :  是集合 上的二元运算,i是  下的幺元, 则:称 满足幂幺律,若 满足: (显然此时每个元素都是它自己的逆元);

幂零律

 :  是集合 上的二元运算,z是  下的零元, 则:称 满足幂零律,若 满足: ,有 (显然此时每个元素都是零元素,而且既是左零元素又是右零元素);

 :   :  是集合 上的两个二元运算,则:

  •    满足左分配律,若   满足: ,有 
  •    满足右分配律,若   满足: ,有 
  •    满足分配律,若   同时满足左分配律和右分配律。