二元運算

二元運算是種數學運算，它的運算結果跟兩個輸入值必須是同種東西，即元數為2的運算。比如說，兩個整數的加法是二元運算，因整數相加以後仍然是整數。

定義

二元運算的定義 — 一個集合 $A$ 上的二元運算是一個定義域是 $A\times A$ 、對應域 $A$ 的函數。

如果從集合 $A$ 對自己的笛卡兒積 （也就是 $A\times A$ ）取出的任意 $(a,\,b)$ ，都會對應 $A$的某個值 $\mathrm {F} (a,\,b)$ ，那對應規則 $\mathrm {F}$ 的本身就被稱為二元運算。

$\mathrm {F} (a,\,b)$ 通常寫為 $a\mathrm {F} b$ ，而且比起使用字母，二元運算時常以某種運算符表示，來跟普通的函數作區別。

事實上 $\mathrm {F} :A\times A\rightarrow A$ 這個記號本身就保證了：「只要 $a,\,b\in A$ 就會有 $a\mathrm {F} b\in A$ 」，這個性質也稱為（二元）運算封閉性。

常用性質和術語

關於二元運算有很多常見的性質和術語，列舉如下：

單位元

設 $\circ :A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元運算，$e\in A$，則：

• 稱 $e$ 為一個 $A$ 的左單位元，若 $e$ 滿足：$\forall a\in A,e\circ a=a$；
• 稱 $e$ 為一個 $A$ 的右單位元，若 $e$ 滿足：$\forall a\in A,a\circ e=a$；
• 稱 $e$ 為 $A$ 的單位元，若 $e$ 既是左單位元、又是右單位元。

反元素

設 $\circ :A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上帶有單位元 $e$ 的二元運算， $a,a'\in A$ 。則：

• 稱 $a'$ 是一個 $a$ 的左反元素，若 $a,a'$ 滿足： $a'\circ a=e$。
• 稱 $a'$ 是一個 $a$ 的右反元素，若 $a,a'$ 滿足： $a\circ a'=e$。
• 稱 $a'$ 是 $a$ 的反元素，若 $a'$ 既是 $a$ 的左反元素、又是 $a$ 的右反元素。這種情況下 $a'$ 常被寫作 $a^{-1}$ 或 $-a$ 。

零元素

設 $\circ :A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元運算， $z\in A$ ，則：

• 稱 $z$ 為一個左零元素，若 $z$ 滿足： $\forall a\in A,z\circ a=z$ ；
• 稱 $z$ 為一個右零元素，若 $z$ 滿足： $\forall a\in A,a\circ z=z$ ；
• 稱 $z$ 為零元素，若 $z$ 既是左零元素、又是右零元素。

零因子

設 $\circ :A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的帶有零元素 $z$ 的二元運算， $a\in A$ 且 $a\neq z$ 。則：

• 稱 $a$ 是一個左零因子，若 $a$ 滿足： $\exists b\in A\setminus \{z\}$ ，使得 $a\circ b=z$ 。
• 稱 $a$ 是一個右零因子，若 $a$ 滿足： $\exists b\in A\setminus \{z\}$ ，使得 $b\circ a=z$ 。
• 稱 $a$ 是一個零因子，若 $a$ 既是左零因子、又是右零因子。

交換律

設 $\circ :A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元運算，則： 稱 $\circ$ 滿足交換律，若：$\forall a,b\in A,a\circ b=b\circ a$；

結合律

設 $\circ :A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元運算，則： 稱 $\circ$ 滿足結合律，若： $\forall a,b,c\in A,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$；

消去律

設$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元運算，則：

稱$\circ$滿足左消去律，若$\circ$滿足：$\forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}c\circ a\neq c\circ b$

稱$\circ$滿足右消去律，若$\circ$滿足：$\forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}a\circ c\neq b\circ c$

稱$\circ$滿足消去律，若$\circ$同時滿足左消去律與右消去律。

冪等律

設$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元運算，則： 稱$\circ$滿足冪等律，若$\circ$滿足：$\forall a\in A,a\circ a=a$；

冪么律

設$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元運算，i是$A$在$\circ$下的單位元， 則：稱$\circ$滿足冪么律，若$\circ$滿足：$\forall a\in A,a\circ a=i$（顯然此時每個元素都是它自己的反元素）；

冪零律

設$\circ$: $A\times A\to A$是集合$A$上的二元運算，z是$A$在$\circ$下的零元素， 則：稱$\circ$滿足冪零律，若$\circ$滿足：$\forall a\in A$，有$a\circ a=z$（顯然此時每個元素都是零元素，而且既是左零元素又是右零元素）；

分配律

設$\circ$: $A\times A\to A$和$\diamond$: $A\times A\to A$是集合$A$上的兩個二元運算，則：

• 稱$\circ$對$\diamond$ 滿足左分配律，若$\circ$，$\diamond$ 滿足：$\forall a,b,c\in A$，有$a\circ (b\diamond c)=(a\circ b)\diamond (a\circ c)$；
• 稱$\circ$對$\diamond$ 滿足右分配律，若$\circ$，$\diamond$ 滿足：$\forall a,b,c\in A$，有$(b\diamond c)\circ a=(b\circ a)\diamond (c\circ a)$；
• 稱$\circ$對$\diamond$ 滿足分配律，若$\circ$對$\diamond$ 同時滿足左分配律和右分配律。