转换方式
向量：反变转换
- 标记法说明：向量
是向量空间 
的元素。向量基底 
构成了向量空间的一个基底，其座标系统为
。对应这个基底，向量 的分量为
，即
。
（注：
这符号中的上标
不代表平方，而是代表第二个坐标，在较基础的数学上，常写作 
，但是，在张量分析领域，指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示，以及爱因斯坦求和约定。）
向量空间
有另一个基底
，其座标系统为
。对应这个基底， 有分量 
，即
。
对于1...n之间任意整数 
，我们知道 
和 的关系：
。
使用爱因斯坦求和约定可写成：
。
余向量：共变转换
假设对偶空间
有两个基底 
跟
。[1]:289-297
假设
。
则对于
...
之间其中一个特定的整数 ，我们知道 
和 
的关系：
。
或使用爱因斯坦求和约定写成：
。
向量的共变分量和反变分量
在欧几里得空间 里，共变向量和反变向量之间的区分很小。这是因为能够使用内积运算从向量求得馀向量；对于所有馀向量 
，通过下述方程式，向量 和线性泛函 
，唯一地确定了馀向量 ：
。
逆过来，通过上述方程式，线性泛函 和每一个馀向量，唯一地确定了向量 。由于这向量与馀向量的相互辨认，我们可以提到向量的共变分量和反变分量；也就是说，它们只是同样向量对于基底和其对偶基底的不同表现。
给予 的一个基底 
，则必存在一个唯一的对偶基底 
，满足
；
其中，
是克罗内克函数。
以这两种基底，任意向量 可以写为两种形式
![{\displaystyle {\begin{aligned}v&=\sum _{i}v^{i}[{\mathfrak {f}}]X_{i}={\mathfrak {f}}\,\mathbf {v} [{\mathfrak {f}}]\\&=\sum _{i}v_{i}[{\mathfrak {f}}]Y^{i}={\mathfrak {f}}^{\sharp }\,\mathbf {v} [{\mathfrak {f}}^{\sharp }]\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/706accb597961c64fa1ffe9c4db0bf94314c7488)
；
其中，![{\displaystyle v^{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e403b5fdaee2e8bd8cb405934e5ff4ac90eb12d)
是向量 对于基底 
的反变分量，![{\displaystyle v_{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fdff97f5ab560841a1baccf4f27b6a756a1dfd7)
是向量 对于基底 的共变分量，
欧几里得空间
将向量 
投影于坐标轴 
，可以求得其反变分量 
；将向量 投影于坐标曲面的法线 
，可以求得其共变分量 
。
在欧几里得空间Ｒ3里，使用内积运算，能够从向量求得馀向量。给予一组可能不是标准正交基的基底，其基底向量为 
、
、
，就可以计算其对偶基底的基底向量：
；
其中，
是三个基底向量 、 、 所形成的平行六面体的体积。
反过来计算，
；
其中，
是三个基底向量 
、
、
所形成的平行六面体的体积 。
虽然 与 
并不相互标准正交，它们相互对偶：
。
这样，任意向量 的反变坐标为
。
类似地，共变坐标为
。
这样， 可以表达为
，
或者，
。
综合上述关系式，
。
向量 的共变坐标为
；
其中，
是度规张量。
向量 的反变坐标为
;
其中，
是共轭度规张量。
共变坐标的标号是下标，反变坐标的标号是上标。假若共变基底向量组成的基底是标准正交基，或反变基底向量组成的基底是标准正交基，则共变基底与反变基底相互等价。那么，就没有必要分辨共变坐标和反变坐标，所有的标号都可以用下标来标记。
在相对论上的应用
参考来源
- ^ Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley, 1980, ISBN 0201657023 （英语）
