轉換方式
向量：反變轉換
- 標記法說明：向量
是向量空間 
的元素。向量基底 
構成了向量空間的一個基底，其座標系統為
。對應這個基底，向量 的分量為
，即
。
（註：
這符號中的上標
不代表平方，而是代表第二個坐標，在較基礎的數學上，常寫作 
，但是，在张量分析领域，指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示，以及愛因斯坦求和約定。）
向量空間
有另一個基底
，其座標系統為
。對應這個基底， 有分量 
，即
。
對於1...n之間任意整數 
，我們知道 
和 的關係：
。
使用愛因斯坦求和約定可寫成：
。
余向量：共變轉換
假設對偶空間
有兩個基底 
跟
。[1]:289-297
假設
。
則對於
...
之間其中一個特定的整數 ，我們知道 
和 
的關係：
。
或使用愛因斯坦求和約定寫成：
。
向量的共變分量和反變分量
在歐幾里得空間 裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有餘向量 
，通過下述方程式，向量 和線性泛函 
，唯一地確定了餘向量 ：
。
逆過來，通過上述方程式，線性泛函 和每一個餘向量，唯一地確定了向量 。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。
給予 的一個基底 
，則必存在一個唯一的對偶基底 
，滿足
；
其中，
是克羅內克函數。
以這兩種基底，任意向量 可以寫為兩種形式
![{\displaystyle {\begin{aligned}v&=\sum _{i}v^{i}[{\mathfrak {f}}]X_{i}={\mathfrak {f}}\,\mathbf {v} [{\mathfrak {f}}]\\&=\sum _{i}v_{i}[{\mathfrak {f}}]Y^{i}={\mathfrak {f}}^{\sharp }\,\mathbf {v} [{\mathfrak {f}}^{\sharp }]\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/706accb597961c64fa1ffe9c4db0bf94314c7488)
；
其中，![{\displaystyle v^{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e403b5fdaee2e8bd8cb405934e5ff4ac90eb12d)
是向量 對於基底 
的反變分量，![{\displaystyle v_{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fdff97f5ab560841a1baccf4f27b6a756a1dfd7)
是向量 對於基底 的共變分量，
歐幾里得空間
將向量 
投影於坐標軸 
，可以求得其反變分量 
；將向量 投影於坐標曲面的法線 
，可以求得其共變分量 
。
在歐幾里得空間Ｒ3裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一組可能不是標準正交基的基底，其基底向量為 
、
、
，就可以計算其對偶基底的基底向量：
；
其中，
是三個基底向量 、 、 所形成的平行六面體的體積。
反過來計算，
；
其中，
是三個基底向量 
、
、
所形成的平行六面體的體積 。
雖然 與 
並不相互標準正交，它們相互對偶：
。
這樣，任意向量 的反變坐標為
。
類似地，共變坐標為
。
這樣， 可以表達為
，
或者，
。
綜合上述關係式，
。
向量 的共變坐標為
；
其中，
是度規張量。
向量 的反變坐標為
;
其中，
是共軛度規張量。
共變坐標的標號是下標，反變坐標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變坐標和反變坐標，所有的標號都可以用下標來標記。
在相對論上的應用
参考来源
- ^ Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley, 1980, ISBN 0201657023 （英语）
